现代设计理论与方法(优化设计) 第一章 优化设计概述致明 知德 力任 行责Kunming University of Science and TechnologyFaculty of Mechanical and Electrical Engineering

机电学院 刘孝保

目

录

第 1 第一节 优化设计引例 一 章 2 第二节 优化设计问题数学模型 优 化 设 3 第三节 优化设计问题基本解法 计 概 述 4 第四节 本章小结

明 德 任 责 致 知 力 行

第一节 优化设计引例

明 利用引例来直观感受什么是优化设计 德 任 责 利用引例接触怎样做优化设计 形成对优化设计的形象思维，为优化 致 知 设计理论学习打基础

力 行

引例1:人字架优化实例

明 问题描述：图1-1所示的人字架由两个钢管构成， 德 5 其顶点受外力2F=3× 10 N。人字架的跨度 任 2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm, 责 钢管材料的弹性模量E=2.1× 10 Mpa,材料密度5

m3 /103 kg ρ=7.8 × ,许用压应力 y = 420MPa。求

在钢管压应力 y 不超过许用压应力 e 和失稳临界 应力 的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D,致 知 使钢管总质量m为最小。

力 行

人字架优化数学模型优化问题数学翻译：2 F F 1 T F 1T 明 求变设计量 x D h 德 任 在满足强度约束条件 责 x y

hD 2B

和稳定约束条件

x e

下的结构质量

图1-1 人字架的受力

m x min

致 知 力 行

人字架优化设计数学模型表达钢管的截面面积钢管所受的压力

A TDhFL F ( B h ) F1 h h2 1 2 2

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失稳的临界力 钢管所受的压应力

EI Fe 2 L2

F1 A

F B2 h

1 2 2

TDh

人字架优化设计数学模型表达钢管的临界应力强度约束条件Fe e A 8 B 2 h2

2 E T 2 D 2

x y2 1 2 2

可以写成

F B h

稳定约束条件

x e1 2 2

TDh

y可以写成

明 德 任 责 致 知 力 行

F B2 h

TDh

2 E T 2 D 2 8 B 2 h2

人字架优化设计数学模型表达

m D, h 2 AL 2 TD B h2

人字架的总质量

1 2 2

这个优化问题是以D和h为设计变量的二维问题，且只 有两个约束条件，可以用解析法求解。( 要达到最 优，满足 x y ,利用极值必要条件，求出D, h;然后将D,h带入稳定性条件，判断满足条件否， 最后求出D*=6.43cm,h*=76cm,m*=8.47Kg )

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除了解析法外，还可以采用作图法求解。

人字架优化设计的图解

min m 2 TD B 2 hs.t.:

1 2 2

F B2 h

1 2 2

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TDhF B2 h1 2 2

y

TDh

2 E T 2

D 2 8 B 2 h2

1-3人字架优化设计的图解

引例2:货箱优化设计问题描述： 现用薄板制造一体积为100m3,长度不小于 5m的无上盖的立方体货箱，要求该货箱的钢板耗费量最 少，试确定货箱的长、宽、高尺寸。

分析： (1)目标：用料最少，即货箱的表面积最小。 (2)设计参数确定：长x1 、宽x2 、高x3; (3)设计约束条件： (a)体积要求 (b)长度要求x1

明 德 任 责 致 知 x2 力 行

x3

货箱的优化设计数学模型设计参数： x1 , x2 , x3设计目标： min S x1 x2 2( x2 x3 x1 x3 )

约束条件： g1

x1 5x3 x2x1

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g 2 x2 0 g 3 x3 0 h1 x1 x2 x3 100

引例3:最大产值生产资源分配已知：某工厂生产A和B两种产品，A产品单位价格为PA万元， B产品单位价格为PB万元。每生产一个单位A产品需消耗煤a明 C 吨，电aE度，aL个工时；每生产一个单位B产品需消耗煤bC吨， 德 电bE度，bL个工时。现有可利用生产资源煤C吨，电E度，L个 任 工时，欲找出其最优分配方案，使产值最大。

责 致 知 力 行

分析： (1)目标：产值的表达式； (2)设计参数确定：A产品xA、B产品xB (3)设计约束条件： (a)生产资源煤约束； (b)生产资源电约束； (c)生产资源工时约束；

最大产值生产资源分配数学模型设计参数：

x A , xB

设计目标： max P PA x A PB xB 或

min P ( PA xA PB xB ) 约束条件： a x b x C C A C B

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aE x A bE xB E aL x A bL xB L x A 0, xB 0

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第 1 第一节 优化设计引例 一 章 2 第二节 优化设计问题数学模型 优 化 设 3 第三节 优化设计问题基本解法 计 概 述 4 第四节 本章小结

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第二节 优化设计的数学模型优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设 计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表明 达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，德 是进行优化设计的基础。 任

优化设计数学模型的三大要素： 设计变量 约束条件 目标函数

责第一 次课 到此

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设计变量一个设计方案可以用一组基本参数的数值来 表示，这些基本参数可以构件几何量(如尺寸、 明 位置等),也可以是物理量(如质量、频率等), 德 还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量以 任 及非物理量(如寿命、成本等)。

责

在设计过程中进行选择并最终必须确定的各 项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化 致 参数。在优化设计过程中设计变量是不断修改、 知 调整，一直处于变化状态。 力

行

设计变量设计变量

的全体实际上是一组变量，可用一个列 向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数 ，如n个设计变量，则称为n维设计问题。 设计变量的全体实际上是一组变量，可用一 x1 x 个列向量表示。设计变量的数目称为优化设 T x 2 x1 , x2 , , xn 计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计 问题。 x n

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由n个设计变量 x1 , x2 , , xn 为坐标所组成的 实空间称作设计空间。一个“设计”,可用设计空间中 的一点表示。 按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变 量(例如轴径、轮廓尺寸等)和离散变量(例如各种标 准规格等)。

设计变量只有两个设计变量的二维设计问题可用图1中(a)所示 的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题 可用图1中(b)所表示的空间直角坐标表示。

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图1 设计变量所组成的设计空间 (a)二维设计问题 (b)三维设计问题

设计变量设计空间—设计点的集合( n 维实欧氏空间 X R n )。

明 R n ( n 4) 为超越空间. 德 任 设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多， 则设计的自由度愈大，可供选择的方案愈多，设计愈灵活， 责但难度亦愈大，求解亦愈复杂。 小型设计问题：10个以下设计变量； 中性设计问题：10~50个设计变量； 大型设计问题：50个以上的设计变量。 目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。

当设计点连续时, R1 为直线; R 2 为平面;R3 为立体空间;

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如何选定设计变量任何一项产品，是众多设计变量综合体。变量越多，可 以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成 优化规模过大。所以选择设计变量时应注意： 抓主要，舍次要 对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影 响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至不 考虑； 根据要解决的设计问题的特殊性来选择设计变量。

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2. 约束条件设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有 些是工程上不能接受的。如一个设计满足所有对它提出 的要求，就称为可行设计。 一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限 制条件称作约束条件，简称约束。分类 ① 根据约束性质分： 性能约束——针对性能要求而提出的限制条件。如选 择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性要求等； 侧面约束(边界约束)——针对设计变量的取值 范围加以限制的约束。如允许机床主轴选择的尺寸范围， 对轴段长度的限定范围等。

明 德 任 责 致 知 力

行