高数第五版答案(同济)(12章)

习题12 9

1 求下列各微分方程的通解

(1)2y y y 2ex

解 微分方程的特征方程为

2r2 r 1 0 其根为r1

Y1 r 1 故对应的齐次方程的通解为 22 1x C1e2 C2e x

因为f(x) 2ex 1不是特征方程的根

故原方程的特解设为

y* Aex

代入原方程得

2Aex Aex Aex 2ex

解得A 1 从而y* ex

因此 原方程的通解为

(2)y a2y ex

解 微分方程的特征方程为

r2 a2 0

其根为r ai 故对应的齐次方程的通解为

Y C1cos ax C2sin ax

因为f(x) ex 1不是特征方程的根

故原方程的特解设为

y* Aex

代入原方程得

Aex a2Aex ex 解得A 1xy C1e2 C2e x ex 1 从而y* ex 1 a21 a2

因此 原方程的通解为

xe y C1cosax C2sinax 1 a

(3)2y 5y 5x2 2x 1

解 微分方程的特征方程为

2r2 5r 0

高数第五版答案(同济)(12章)

其根为r1 0 r2 故对应的齐次方程的通解为

Y 5x C1 C2e2 52

因为f(x) 5x2 2x 1 0是特征方程的单根

故原方程的特解设为

y* x(Ax2 Bx C)

代入原方程并整理得

15Ax2 (12A 10B)x (4B 5C) 5x2 2x 1 比较系数得A 1 B 3 C 7 从而y* 1x3 3x2 7x 35253525

7x 25 因此 原方程的通解为 5x1332y C1 C2e x x 35

(4)y 3y 2y 3xe x

解 微分方程的特征方程为

r2 3r 2 0

其根为r1 1 r2 2 故对应的齐次方程的通解为

Y C1e x C2e 2x

因为f(x) 3xe x 1是特征方程的单根

故原方程的特解设为

y* x(Ax B)e x

代入原方程并整理得

2Ax (2A B) 3x 比较系数得A 3 B 3 从而y* e x(3x2 3x) 22

3

2 因此 原方程的通解为 y C1e x C2e 2x e x(x2 3x)

(5)y 2y 5y exsin2x

解 微分方程的特征方程为

r2 2r 5 0

其根为r1 2 1 2i 故对应的齐次方程的通解为

Y ex(C1cos2x C2sin2x)

因为f(x) exsin2x i 1 2i是特征方程的根

故原方程的特解设为

y* xex(Acos2x Bsin2x)

代入原方程得

高数第五版答案(同济)(12章)

ex[4Bcos2x 4Asin2x] exsin2x 比较系数得A B 0 从而y* xexcos2x

因此 原方程的通解为

y ex(C1cos2x C2sin2x) xexcos2x

(6)y 6y 9y (x 1)e3x

解 微分方程的特征方程为

r2 6r 9 0

其根为r1 r2 3 故对应的齐次方程的通解为

Y e3x(C1 C2x)

因为f(x) (x 1)e3x 3是特征方程的重根

故原方程的特解设为

y* x2e3x(Ax B)

代入原方程得

e3x(6Ax 2B) e3x(x 1) 比较系数得A 1414141 B 1 从而y* e3x1x3 1x2) 6262

1

612 因此 原方程的通解为 y e3x(C1 C2x) e3xx3 x2)

(7)y 5y 4y 3 2x

解 微分方程的特征方程为

r2 5r 4 0

其根为r1 1 r2 4 故对应的齐次方程的通解为

Y C1e x C2e 4x

因为f(x) 3 2x (3 2x)e0x 0不是特征方程的根

故原方程的特解设为

y* Ax B

代入原方程得

4Ax (5A 4B) 2x 3 比较系数得A B 1

211 从而y* 1x 11 828

1

211 8 因此 原方程的通解为 y C1e x C2e 4x x

(8)y 4y xcos x

解 微分方程的特征方程为

r2 4 0

高数第五版答案(同济)(12章)

其根为r 2i 故对应的齐次方程的通解为

Y C1cos2x C2sin2x

因为f(x) xcos x e0x(x cos x 0 sin x) i i不是特征方程的根

故原方程的特解设为

y* (Ax B)cos x (Cx D)sin x

代入原方程得

(3Ax 3B 2C)cos x (3Cx 2A 3D)sin x xcos x 比较系数得A 1 B 0 C 0 D 2 从而y* 1xcosx 2sinx 3399

1

329 因此 原方程的通解为 y C1cos2x C2sinx xcosx sinx

(9)y y ex cos x

解 微分方程的特征方程为

r2 1 0

其根为r i 故对应的齐次方程的通解为

Y C1cos x C2sin x

因为f(x) f1(x) f2(x) 其中f1(x) ex f2(x) cos x 而

方程y y ex具有Aex形式的特解

方程y y cos x具有x(Bcos x Csin x)形式的特解

故原方程的特解设为

y* Aex x(Bcos x Csin x)

代入原方程得

2Aex 2Ccos x 2Bsin x ex cos x 比较系数得A 1 B 0 C 1 从而y* 1ex xsinx 2222

1

2x2 因此 原方程的通解为 y C1cosx C2sinx ex sinx

(10)y y sin2x

解 微分方程的特征方程为

r2 1 0

其根为r1 1 r2 1 故对应的齐次方程的通解为

Y C1e x C2ex

因为f(x) sin2x cos2x 而

方程y y 11221的特解为常数A 2

高数第五版答案(同济)(12章)

方程y y cos2x具有Bcos2x Csin2x形式的特解

故原方程的特解设为

y* A+Bcos2x Csin2x

代入原方程得

A 5Bcos2x 5Csin2x cos2x 比较系数得A B 1211221

21 C 0 从而y* 1 1cos2x 10210

1cos2x 1 102 因此 原方程的通解为 y C1e x C2ex

2 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解

(1)y y sin x 0 y|x 1 y |x 1

解 微分方程的特征方程为

r2 1 0

其根为r i 故对应的齐次方程的通解为

Y C1cos x C2sin x

因为f(x) sin2x e0x(0 cos2x sin2x) i i是特征方程的根

故原方程的特解设为

y* Acos2x Bsin2x

代入原方程得

3Acos 2x 3Bsin2x sin2x

解得A 0 B 1 从而y* 1sin2x 33

1

3 因此 原方程的通解为 y C1cosx C2sinx sin2x

由y|x 1 y |x 1得C1 1 C2

故满足初始条件的特解为

y cosx sinx sin2x

(2)y 3y 2y 5 y|x 0 1 y |x 0 2

解 微分方程的特征方程为

r2 3r …… 此处隐藏：3766字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……