1 河南省顶级名校2020届高三1月教学质量测评

理科数学

本试题卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{y ｜－1＜y ＜3}，N ＝{x ｜x （2x －7）≤0}，则M ∪N ＝

A ．[0，3）

B ．（0，72]

C ．（－1，72

] D ．∅ 2．设复数z 满足｜z －3｜＝2，z 在复平面内对应的点为M （a ，b ），则M 不可能为

A ．（2

B ．（3，2）

C ．（5，0）

D ．（4，1）

3

．已知a 544log 21

b ＝，29

13c ⎛⎫ ⎪⎝⎭．＝，则 A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞c ＞a D ．c ＞a ＞b

4．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国

庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：

小明说：“鸿福齐天”是我制作的；

小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；

小金说：“兴国之路”不是我制作的．

若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是

A ．小明

B ．小红

C ．小金

D ．小金或小明 5．函数()2sin cos 20

x x x f x x ＝＋在[－2π，0）∪（0，2π]上的图像大致为

2

6．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五

位同学参加A 、B 、C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同—个贫困县，则不同的派遣方案共有

A ．24

B ．36

C ．48

D ．64

7．已知向量a ＝（m ，1），b ＝（－1，2），若（a －2b ）⊥b ，则a 与b 夹角的余弦值为

A

．－13 B

．13 C

．－65 D

．65

8．框图与程序是解决数学问题的重要手段．实际生活中的一

些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，

得到解决．例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图

所示的程序框图，其中输入x 1＝15，x 2＝16，x 3＝18，x 4

＝20，x 5＝22，x 6＝24，x 7＝25，则图中空白框中应填入

A ．i ＞6，S ＝7S

B ．i ≥6，S ＝7

S C ．i ＞6，S ＝7S D ．i ≥6，S ＝7S

9．记等差数列{n a }的公差为d ，前n 项和为n S ．若10S ＝40，

6a ＝5，则

3 A ．d ＝3 B ．10a ＝12

C ．20S ＝280

D ．1a ＝－4

10．已知椭圆C ：22

221x y a b

＋＝（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P （x 1，y 1）， Q （－x 1，－y 1）在椭圆C 上，其中x 1＞0，y 1＞0，若｜PQ ｜＝2｜OF 2｜，

11QF PF

， 则椭圆C 的离心率的取值范围为

A ．（0

B ．（0

2] C ．

1] D ．（0

，1] 11．关于函数()114sin 4cos 232

3f x x x ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＋＋＋，有下述三个结论： ①函数f （x ）的一个周期为

2π； ②函数f （x ）在[2

π，34π]上单调递增； ③函数f （x ）的值域为[4

，．

其中所有正确结论的编号是

A ．①②

B ．②

C ．②③

D ．③

12．已知四棱锥S —ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，

△SAD 是等边三角形，且SA ＝AB

＝若点P 在四棱锥S —ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为

A

．1 B

2 C

．1 D

．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数f （x ）＝m （2x ＋1）3－2e x ，若曲线y ＝f （x ）在（0，f （0））处的切线与直线

4x ＋y －2＝0平行，则m ＝__________．

14．设n S 为数列{n a }的前n 项和，若2n S ＝57n a －，则n a ＝__________．

4 15．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗

衣机在线下的销售受到影响，承受了一

定的经济损失，现将A 地区200家实

体店该品牌洗衣机的月经济损失统计

如图所示，估算月经济损失的平均数为

m ，中位数为n ，则m －n ＝__________．

16．已知双曲线C ：22

221x y a b

－＝（a ＞0， b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 是双曲线C 过第一、三象限的渐近线，记直线l 的倾斜角为α，直线l '：tan 2y x α

⋅＝，F 2M ⊥l '，垂足为M ，若M 在双曲线C 上，

则双曲线C 的离心率为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设

23sin 3sin 3sin sin sin sin sin B C A C B B C

＋＝＋ （1）求tanA 的值；

（2

）若B ＝3sinC ，且S △ABC

＝a 的值．

18．（12分）

如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，∠BAB 1＝∠BB 1A ， AB 1∩A 1B ＝O ，CO ⊥平面ABB 1A 1，D 是线段A 1C 1上靠近A 1的三等分点．

（1）求证：AB ⊥AA 1；

（2）求直线OD 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值．

5 19．（12分）

记抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点D ，E 在抛物线C 上，且直线DE 的斜率 为1，当直线DE 过点F 时，｜DE ｜＝4．

（1）求抛物线C 的方程；

（2）若G （2，2），直线DO 与EG 交于点H ，DI ＋EI ＝0，求直线HI 的斜率．

20．（12分）

已知函数f （x ）＝e x －2x －cosx ．

（1）当x ∈（－∞，0）时，求证：f （x ）＞0；

（2）若函数g （x ）＝f （x ）＋ln （x ＋1），求证：函数g （x ）存在极小值．

21．（12分）

为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A 市与B 市之间建一

条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为2m ，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为12

． （1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：

是否有99．9％的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；

（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X 个路口种植杨树，求X 的分布列以及

数学期望；

（3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为M ，

求证：3M ≥m （m －1）（m －2）．

6 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos 2sin x y θθ

⎧⎨⎩＝＋，＝（θ为参数），以原点

为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2224cos 4sin ραα

＝＋． （1）求曲线C 1的极坐标方程以及曲线C 2的直角坐标方程；

（2）若直线l ：y ＝kx 与曲线C 1、曲线C 2在第一象限交于P ，Q 两点，且｜OP ｜＝

2｜OQ ｜，点M 的坐标为（2，0），求△MPQ 的面积．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a ＞0，b ＞0，c ＞0．

（1）求证：()

44422422ab a b a a b b a b ＋－＋≥＋；

（2）若abc ＝1，求证：a 3＋b 3＋c 3≥ab ＋bc ＋ac ．