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2015年高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑原理

专题1集合及其运算

〖备考明向〗

1.集合的概念与运算是历年来必考内容之一，题型主要以选择填空题为主，一般5分左右，难度较低。 2.单纯的集合问题以解答题的形式出现的机率不大，多数与函数的定义域、值域、不等式的解法相联系，解题时要注意利用韦恩图、数轴、函数图象相结合。另外，集合新定义信息题是近几年命题的热点，注意此种类型。

3.2015年的高考将会继续保持稳定,坚持考查集合运算,命题形式会更加灵活、新颖，预测分值仍然是5分，并且是第一道选择题。 〖知识梳理〗 1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或 表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．

(4)常用数集：自然数集N；正整数集N(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集. 2．集合间的基本关系

(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A B(或B A)．

*

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(2)真子集：若A B，且A≠B，则AÜB(或BÜA)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，即 A， 空集是任何非空集合的真子集，即 ÜB(B≠ )．

(4)若A含有n个元素，则A的子集有2个，A的非空子集有2－1个． (5)集合相等：若A B，且B A，则A＝B. 3．集合的基本运算

n

n

4．集合的运算性质（重点） ①A∪B＝A B A，A∩B＝A A B； ②A∩A＝A，A∩ ＝ ； ③A∪A＝A，A∪ ＝A；

④A∩ UA＝ ，A∪ UA＝U， U( UA)＝A， U（A∪B）= UA∩ UB, U（A∩B）= UA∪ UB 〖分析考向〗 考向一：元素与集合

（1）掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．

（2）解决集合问题时一定要弄清楚集合中的元素是什么，尤其是用描述法表示的集合，要特别注意它们形式上的区别，以下给出一些常见的集合形式及其含义：

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【典型例题】

1.设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2

，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．

2.若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}

，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )

A．5 B．4 C．3

D．2

【迁移训练】

1. 设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为 ( ) A．9

B．8

C．7

D．6

b

2.若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，求b－a的值．

a

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3.设集合A {1,2，a},B {1，a2 a}，若A B,求实数a的值。

考向二：集合间的基本关系

1.子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集

n

合A有n个元素，则其子集个数为2，真子集个数为2 1，非空真子集个数为2 2.

n

n

2．判断集合与集合的关系，基本方法是归纳为判断元素与集合的关系．对于用描述法表示的集合，要紧紧抓住代表元素及它的属性，可将元素列举出来直观发现或通过元素特征，求同存异，定性分析．应做到意义化(分清集合的种类，数集、点集、图形、定义域、值域、方程或不等式的解或解集等)、具体化(具体求出相关的集合并化简)、直观化(借助数轴、Venn图、函数图象等，即数形结合的思想)． 【典型例题】

1. 已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A C B的集合C的个数为( ) A．1

B．2

C．3

D．

4

2

【迁移训练】

1.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．

22

2.设集合M＝{x|x＝5－4a＋a，a∈R}，N＝{y|y＝4b＋4b＋2，b∈R}，则M与N之间有什么关系？

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3.设集合A {x R||x a| 2}，B {x|

2x 1

1}，若A B,求实数a的取值范围。

x 2

考向三：集合的基本运算

1在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．

2.在解决有关集合问题时，往往忽略了空集情况，一定要首先考虑空集是否成立，以防漏解，另外要注意数形结合与分类讨论等数学思想的运用。 【典型例题】

1．（2014年高考文科科数学（新课标Ⅰ））已知集合M x| 1 x 3 ,N x| 2 x 1 ，则M（ ）

A. ( 2,1) B. ( 1,1) C. (1,3) D. (

2,3)

N

2．（2014年高考文科科数学（四川卷））已知集合A {x|(x 1)(x 2) 0}，集合B为整数集，则A B （ ）

A．{ 1,0} B．{0,1} C．{ 2, 1,0,1} D．{

1,0,1,2}

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3.（2013年全国高考统一考试天津数学（文卷）已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则A B （ ） (A) ( ,2]

(B) [1,2]

(C) [－2,2]

(D) [－

2,1]

【迁移训练】

1.设集合A＝

，

m

2

－

2

＋y≤m，

22

x，y∈R ，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y

∈R}．若A∩B≠

，则实数m的取值范围是________．

2.集合A xx 3x 2 0，B xx 2(a 1)x (a 5) 0 （1）若A B 2 ，求实数a的值； （2）若A B

A，求实数a的取值范围。

2

22

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3.设全集是实数集R，A＝{x|2x－7x＋3≤0}，B＝{x|x＋a<0}． (1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B； (2)若( RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．

2

2

考向四：集合的新定义运算

1. 处理此类问题的关键在于读懂定义，当题目的条件中提供一种信息，集合中的创新问题及信息迁移题往往都是以“新定义”“新运算”等问题为载体．这些新定义、新运算大多是在我们熟悉的知识上加工设计的． 2．解决这类问题的关键是结合元素与集合，集合与集合之间的关系，将新情境转化为老问题加以解决． 【典型例题】

1.设S为复数集C的非空子集.若对任意x,y S，都有x y,x y,xy S，则称S为封闭集．下列命题：

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① 集合S＝{a＋bi|（a,b为整数，i为虚数单位）}为封闭集； ② 若S为封闭集，则一定有0 S； ③ 封闭集一定是无限集；

④ 若S为封闭集，则满足S T C的任意集合T也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）（ ）

2.设S是实数集R的非空子集，如果 a，b∈S，有a＋b∈S，a－b∈S，则称S是一个“和谐集”．下列命题为假命题的是( )

A．存在有限集S，S是一个“和谐集”

B．对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集” C．若S1≠S2，且S1，S2均是“和谐集”，则S1∩S2≠

D．对任意两个“和谐集”S1，S2，若S1≠R，S2≠R，则S1∪S2＝

R

【迁移训练】

设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1 A，且k＋1 A，那么k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

考向五：要注意利用数形结合思想解决集合问题

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A BR 10,,242 A { |2x2B { 1 xx x 0},0 ,Bx| x x4 ,5} 29

集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．

【典型例题】设全集U={x|0<x<10,x∈N}，若A∩B={3}，A∩CB={1，5，7}，CA∩CB={9}，则集合A、B是

*

U

U

U

________．

〖考题回放〗

1．（2014年高考文科科数学（新课标Ⅰ））已知集合M x| 1 x 3 ,N x| 2 x 1 ，则M（ ）

A. ( 2,1) B. ( 1,1) C. (1,3) D. ( 2,3)

2．（2014年高考文科科数学（四川卷））已知集合A {x|(x 1)(x 2) 0}，集合B为整数集，则A B （ ）

A．{ 1,0} B．{0,1} C．{ 2, 1,0,1} D．{ 1,0,1,2} 3．（2014年高考文科科数学（陕西卷））已知集合M {x|x 0,x R},N {x|x 1,x R}，则M（ ）

2

N

N

A.[0,1] B.(0,1) C.(0,1] D.[0,1)

4．（2014年高考文科科数学（山东卷））设集合（A）

（B）

（C）

（D）

，集合

，则

则

（ ）

5．（2014年高考文科科数学（江西卷））设全集为

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{CBDx.. (( | x{12 3x3 x,x|,1}2 03x }1 ))]3}3}2},B {x| 1x AB (CRB)

3

( )

6．（2014年高考文科科数学（广东卷））已知集合M 2,3,4 ，N 0,2,3,5 ，则M

N （ ）

A. 0,2 B. 2,3 C. 3,4 D. 3,5 7．（2014年高考文科科数学（福建卷））若集合P x2 x 4 ,Q xx 3 ,则P Q等于 （ ）

A.x3 x 4

B.x3 x 4

C.x2 x 3

D.x2 x 3

N中元素的

8．（2014年高考文科科数学（大纲卷））设集合M={1，2，4，6，8},N={2，3，5，6，7},则M格式为( )

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

9．（2014年高考文科科数学（浙江卷））设集合 S {x|x 2}，T {x|x 5}，则SA.( ,5] B.[2, ) C.(2,5) D.[2,5]

10．（2014年高考文科科数学（全国Ⅱ卷））设集合A { 2,0,2},B {x|x x 2 0},则AA． B． 2 C．{0} D．{ 2}

2

T （ ）

B （ ）

11．（2014年高考文科科数学（辽宁卷））已知全集U R,A {x|x 0},B {x|x 1}，则集合

CU(AB) （ ）

A．{x|x 0} B．{x|x 1} C．{x|0 x 1} D．{x|0 x 1} 12．（2014年高考文科科数学（湖南卷））已知集合A.

B.

C.

D.

，则

（ ）

13．（2014年高考文科科数学（湖北卷））已知全集U {1,2,3,4,5,6,7}，集合A {1,3,5,6}，则CUA （ ） A.{1,3,5,6} B.{2,3,7} C.{2,4,7} D.{2,5,7}

14．（2014年高考文科科数学（北京卷））若集合A= 0,1,2,4 ，B= 1,2,3 ，则A B （ ） A. 0,1,2,3,4 B. 0,4 C. 1,2 D. 3

15．（2014年高考文科科数学（江苏卷））已知集合A 2, 1,3 ,，4B 1,2,3 ，则

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B A {3,4,5,12,13},B {2,3,5,8,13}

A B

16．（2014年高考文科科数学（重庆卷））已知集合

_______.

详细答案与解析

，则

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2x 5}[[0,(0,( 1,0)1,0]4)4]N x0NM {{x|| x 3x 4 0}

1．（2014年高考理科科数学（北京卷））已知集合A {x|x 2x 0}，B {0,1,2}，则AA.{0} B．{0,1} C．{0,2} D．{0,1,2} 2．（2014年高考理科科数学（大纲卷））设集合A．

B．

C．

D．

，

，则

2

B （ ）

3．（2014年高考理科科数学（辽宁卷））已知全集U R,A {x|x 0},B {x|x 1}，则集合CU(A（ ）

A．{x|x 0} B．{x|x 1} C．{x|0 x 1} D．{x|0 x 1}

B)

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7．（2014年高考理科科数学（陕西卷））已知集合M {x|x 0,x R},N {x|x2 1,x R}，则M（ ）

N

A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)

详细答案与解析

1、【2013高考（大纲文）】设集合U 1,2,3,4,5 ,集合A 1,2 ，则ðuA （ ） （A） 1,2 （B） 3,4,5 （C） 1,2,3,4,5 （D）

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2、【2013年高考（新课标Ⅱ理）】已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=

（ ）

（A）｛0，1，2｝ （B）｛-1，0，1，2｝ （C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，

3}

3、【2013年高考（新课标Ⅰ理）】已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－5＜x5｝，则(

A、A∩B= B、A

B=R C、B A

D、A

B

)

4、【2013高考（辽宁理）】已知集合A x|0 log4x 1 ,B x|x 2 ，则AA． 01，2 C． 1,2 D． 1，

2 B． 0，

B （ ）

5、【2013高考（山东文）】已知集合A、B均为全集U {1,2,3,4}的子集，且ðU(A则A

B) {4},B {1,2},

ðUB

A. 3 B. 4 C. 3,4 D.

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6、【2013高考（广东理）】设集合

M x|x2 2x 0,x R

,

N x|x2 2x 0,x R

,则

M

N ( )

C． 2,0

D．

2,0,2

A . 0 B． 0,2

7、【2013年高考（浙江理）】设集合S {x|x 2},T {x|x2 3x 4 0}，则(CRS)T （ ）

A. ( 2,1] B. ( , 4] C. ( ,1] D.[1,

)

8、【2013年高考（湖北理）】已知全集为R，集合A= x()2 1 ，B=xx2 6x 8 0，则A∩ RB=

1

2

A.xx 0 B. x2 x 4 C. xx 0＜2或x＞4 D. x0＜x≤2或x≥4