2012届高三数学复习课件(广东文)第11章第4节__抛物线

高三文科数学第一轮复习课件

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1.若抛物线y = 4x 上的一点M 到其焦点的距离为1,2

则点M 的纵坐标是 ( B 17 A. 16 15 B. 16

)7 C. 8 D. 0

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2.边长为1的等边三角形AOB,O为原点，AB ⊥ x轴， 以O为顶点且过A、B的抛物线方程是 ( C2

)

3 3 3 3 2 2 2 A. y = x B. y = x C. y = ± x D. y = ± x 6 6 6 6 3 解析：设AB ⊥ x轴于点D,则 OD = 1 cos30° = , 2 1 3 1 AD = 1 sin30° = ,所以A( , ). 2 2 2 由题意可设抛物线的方程为y 2 = 2px ( p > 0 ).3 将点A的坐标代入即可得2p = .结合图形的对称性知选C. 6

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x2 y2 3.若抛物线y 2 = 2px的焦点与椭圆 + = 1的右焦点 6 2 重合,则p的值为 ( D ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4

x2 y 2 解析： 因为椭圆 + = 1的右焦点为( 2, 0 ), 6 2 所以抛物线y 2 = 2px的焦点为 ( 2, 0 ), 则p = 4.

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4.抛物线y = x 2上的点到直线4x + 3y 8 = 0的距离的 最小值是4 3

解析：设抛物线y = x 2上一点为(m, m 2 ),该点到 | 4m 3m 2 8 | 直线4x + 3y 8 = 0的距离为d = . 5 2 4 故当m = 时，d 取得最小值， . 为 3 3

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5.已知点A ( 3, 4 ),F 是抛物线y 2 = 8x的焦点,M 是抛物线 上的动点,当 MA + MF 最小时,M 点的坐标是 4) ( 2,解析： 解析：把 MF 转化为点M 到准线的距离 MK ,然后求 MA + MK 的最小值及点M 的坐标.

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求抛物线的标准方程

例题1:求定点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 ( 3, 2 )的 抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程.解析：设所求的抛物线方程为y 2 = 2px或x 2 = 2py ( p > 0 ). 4 2 9 2 解得p = 或p = .所以所求抛物线的方程为y = x或 3 4 3 1 9 9 2 x = y,对应的准线方程分别是x = ,y = . 2 3 8

因为抛物线过点 ( 3, 2 ),所以4 = 2p ( 3) 或9 = 2p 2,

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反思小结： 求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p. 从实际分析,一般需确定p和开口方向两个条件,有时需 要相应的讨论.

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拓展练习：根据下列条件求抛物线的标准方程.

(1) 抛物线的焦点是双曲线16x 2 9y 2 = 144的左顶点； ( 2 ) 过点P(2, 4),且对称轴为坐标轴； ( 3) 抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M (m, 3)到焦点的距离为5.

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x2 y 2 解析： ) 双曲线的方程化为 = 1, (1 9 16 其左顶点为( 3,. 0) 由题意设抛物线的方程为y 2 = 2px( p>0), p 则 = 3,所以p = 6. 2 所以所求抛物线的标准方程为y 2 = 12x.

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( 2 )由于点P(2, 4)在第四象限且抛物线的对称轴 为坐标轴，故可设抛物线的方程为y 2 = mx或x 2 = ny, 代入P点的坐标可得m = 8或n = 1. 所以所求抛物线的标准方程为y 2 = 8x或x 2 = y.

( 3)由题意知，抛物线的开口向下，设其方程为x 2 = 2py ( p>0). p 又点M (m, 3)到焦点的距离等于它到准线y = 的距离， 2 p 为 | 3 |= 5,所

以p = 4或p = 16(舍去). 2 所以所求抛物线的标准方程为x 2 = 8y.

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抛物线的几何性质

例题2:设抛物线y = 2px ( p > 0 )的焦点为F ,经过点F2

的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上， 且BC //x轴.证明：直线AC经过原点O. 经过原点

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p 解析：方法1:设直线AB的方程为x = my + ,将其 2 2 2 2 代入y = 2px,得y 2pmy p = 0. p2 由韦达定理，得y A yB = p 2,即yB = . yA p p 因为BC //x轴，且点C在准线x = 上，所以C ( ,yB ). 2 2 yB 2 p yA 则kOC = = = = kOA .故直线AC经过原点O. p y A xA 2

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方法2:如图，记准线l与x轴的交点为E, 过A作AD ⊥ l,垂足为D, 则AD //EF //BC.连接AC交EF 于点N, | EN | | CN | | BF | | NF | | AF | 则 = = , = . | AD | | AC | | AB | | BC | | AB | BF 因为 AF = AD , = BC , | AD | | BF | | AF | | BC | 所以 EN = = = NF , | AB | | AB | 即N 是EF的中点，从而点N 与点O重合. 故直线AC经过原点O.

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反思小结：本题的 " 几何味 " 特别浓,这就为本题注入了活力. 在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A yB = p 2这个 重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒 广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘 出丰富多彩的解析几何的题目. 本例需证直线AC经过原点O,即证O、A、C三点共线. 为此只需证kOC = kOA .此外，本题也可由抛物线的几何性质， 运用平面几何知识去解决，如方法2,这使得本题的“几何味” 特别浓.

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拓展练习：若定长为3的线段AB的两个端点在抛物线 y 2 = x上运动，记线段AB的中点为M ,求点M 到y轴的 最短距离，并求此时点M 的坐标.