广东第二师范学院考试样卷

（ A ）卷

2013-2014学年 第1学期

考试有关事项说明

考试日期：2014年01月17日（星期五） 考试用时：150分钟 考试地点：（花都校区教学楼_____室） 考试形式：闭卷

有关考试的特殊提示：（沉着冷静、认真作答！相信自己，你是最棒的！）

此此为为考考试试样样卷卷，，仅仅提提供供试试卷卷题题型型，，内内容容与与实实际际考考试试无无关关。。如如有有雷雷同同，，纯纯属属巧巧合合！！

一、填空题（每小题2分，共14分）

22 2

1、等式(a b) ab成立的充分必要条件是a、b共；。 线（或a//b）

2、若置换p

1234 1234 1234

qp ,则,q 2413 1432 。 3241

201 201

3、将矩阵A 31b 的第1行乘上-2加到第二行后变成B 112 ,

405 405

则b 4 。

4、1至6的排列241356的逆序数为________ 3 。

5、四阶行列式展开式中，项a12a34a41a23的符号为。

ax1 x2 2x3 1

11

6、如果线性方程组 x1 2x3 2有唯一解，a的取值范围 a 。

6 2x 3x-x 5

23 17、 设在空间直角坐标系下，A=(2,0,0),B=(2,1,2),C=(0,-1,4),则空间 ABC面积等于 。

二、判断题（每小题2分，共10分）

1、 若ab ac且a 0则一定有b c

。（ × ）

2、 若（a，，b，c）=0 ，则必存在不全为零的实数 ， ，使得c a b。（ × 3、

ka11ka12

11a12

。（ × ）

ka21ka k

a22

a21a22

4、在△ABC 中一定存在一点O，可以使得 OA OB OC 0。（ √ ） 5、 1, 2, , m线性相关当且仅当rank(( 1, 2, , m)) m。（ √ ）

三、选择题（每小题2分，共10分）

1、 在四边形ABCD中,若AB a 2b,BC 4a b,CD 5a 3b,则四边形

ABCD为( A ).

A.梯形; B.平行四边形; C.一般四边形; D.以上结论都不正确. 2、n维向量组 1, 2, , s (3 s n)线性无关的充分必要条件是（ D ） A. 存在一组不全为零的数k1,k2, ,ks，使k1 1 k2 2 ks s 0 B. 1, 2, , s中任意两个向量组都线性无关

）

C. 1, 2, , s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 D. 1, 2, , s中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

00

3、 行列式...

0......0100......200.......

..

. 的值为（ D ）.

n 10......00000......00n

n 1

A. n!; B. ( 1)n!; C. ( 1)

n(n 1)

2

n!; D. ( 1)

(n 1)(n 2)

2

n!

4

4、行列式3

10

2a中，元素a的代数余子式是（ D ）。 65 7

40414041A． B． C． D．

6 7656 765

5、当 （ B ）时，方程组

x1 x2 x3 1

，有无穷多解。

2x1 2x2 2x3

A．1 B．2 C．3 D．4

四、简答题（每小题10分，共40分）

1、设四面体顶点为A(2,6,10),B(-2,0,1),C(1,4,0),D(4,0,-2), 求四面体体积和BCD面上的高.

解：四面体体积等于以AB,BC,BD为邻棱的平行六面体体积的 由已知条件得

AB=(-2,0,1)-(2,6,10)=(-4,-6,-9)

1. 6

BC=(1,4,0)- (-2,0,1)=(3,4,-1)

BD=(4,0,-2)- (-2,0,1)=(6,0,-3) (4分)

VABCD

11

V平行六面体 |(AB,BC,BD)| 66

4 6 91 34 1=41。 (6分) 6603

111 1

而 VABCD S BCD d |BC BD)|d 27 d，

332682

故 d 。 (10分)

9

2、 若向量a (2,1,1),b ( 4, 5, 1),c (1,3,1),d (1,2, 1),利用克拉默法则说明d

可被a,b,c线性表示,并求出这个线性表示式.

d xa xb xc解： 设 123, 将各自的坐标代入，得一个线性方程组:

2x1 4x2 x3 1

x1 5x2 3x3 2. ( 4分）

x x x 1 123

2 41

由于系数行列式 D 1

53 8 0. ( 6分） 1 11

由克拉默法则知上述方程组有唯一解.

x1

1 412 53 1 11

8

11

,x2 8

2111231 11 8

9

,x3

8

2 411 521 1 1

8

3

. (10分)

4

111248

3、利用行列式性质，计算行列式D

3927。

41664

解

(2) (1) ( 1)11111

1(3) (1137(3) (2) ( 2)

1

D

) ( 1)013(4) (1) ( 1)0

2826(4) (2) ( 3)

02 0

31563

006 1 1 2 6 12. (10

a

111

4、利用行列式的性质计算

11 a11

111 b1。

1111 b

解：课本习题 2-5 第一题第五小题，答案略。

2x1 x2 x3 x4 15、 求下面的线性方程组的全部解：

x1 2x2 x3 x4 2 。

x1 x2

2x3 x4 3

解：课本习题 3-7 第一题第二小题，答案略。

五、证明题（前两题每小题8分，第3题10分）

：

111

117(4) (3) ( 3)013712 002120006

分)

(10分)

(10分)

1x1

1x2b1b2b3x22

001x1x120

001x2x220

001x3x320

1x3c1c2c3x32

(x2 x1)2(x3 x1)2(x3 x2)2

a1a2a3x12

证： 根据拉普拉斯定理，按1，2，6行展开： (2分)

1x1

1x2b1b2b3x22

001x1x120

001x2x220

001x3x220

1x3c1c2c3x32

a1a2a3x12

1 x1

x12

1x2x22

1

x3( 1)1 2 6 1 2 6 . x22

1x1x12

1x2x22

1x3 x22

=(x2 x1)2(x3 x1)2(x3 x2)2 （8分）

2、试用行列式的基本性质证明下面的行列式D能被23整除（不必求出 D 的值）：

529 23

D 276。 已知 276 23 12 。

851 37 851

52529 (3) (1) 100 (2) 10

证： D 27276 （4分）

85851

5223 1 (3

)

232712 23 D1 23

8537

529

由于D1是整数，故D能被23整除。 （8分）

3、 用逆否命题形式写出以下单射定义“如果映射f:S S'对于S中任意两个不同元素

a b,都有f(a) f(b),则称f:S S'是单射”的等价定义.并证明：若映射

f:S S'有逆映射g:S' S,则f是单射.

证明：单射的等价定义：如果映射f:S S'对于S'中的像满足f(a) f(b),都有a b,

则称f:S S'是单射。 （5分）

若映射f有逆映射g:S' S，对于a，b S

如果有f(a) f(b)那么

a 1s(a) (gf)(a) g(f(b)) (gf)(b) 1s(b) b，

所以f是单射。 （10分）