第三章 单度线性系统受迫振动§3-1 无阻尼受迫振动 kx F0 sin t m x或2 n x x f 0 sin t

m e 2

F0 f0 m齐次微分方程的通解为：x1 A sin n t B cos n t C sin( n t )F0 sin t

km

特解为： x2 X sin tf0 将x2代入微分方程可得： X 2 n 2

因此微分方程的全解为：x x1 x2 A sin n t B cos n t f0 sin t 2 2 n

实际系统总是存在阻尼，自由项x1中的A与B总是 随时间的增加而减小，最后完全消失，因此我们只讨 论受迫项： X f x2 2 0 2 sin t n

f0 其振幅 X 2 n 2

F0 kO

n幅频曲线

仅与M、K、ω及F0有关，与初始条件无关，且受迫振动 频率等于激励频率ω,振幅X与激励频率ω的关系曲线如图。

当ω=ωn时，振幅X→∞,这一现象称为共振。

实际上，当ω=ωn时，有特解：

x2 bt cos t bt cos n t代入微分方程得：b x2 振幅B

f0 2 n

F0 2m n

F0 t cos n t 2m n

F0 t 随时间无限增大，波形 如同。 2m n

§3-2 有阻尼受迫振动或

cx kx F0 sin t m x 2 2 n x n x x f 0 sin t阻尼比 c 2 mk

cm

k

F0 sin t

通解：x1 Ae n t sin( d t )特解：x2 X sin( t )

将x2代入微分方程得：X F0 (k m 2 ) 2 c 2 2 tg c k m 2

因此微分方程的全解为：

x x1 x2 Ae n t sin( d t ) X sin( t )

仅考虑强迫项x2=XSin(ωt-φ) 令 n 2 m 2 则 2 k n2

c 2c 2 k 2 n m k

所以 X

F0 / k (1 2 ) 2 4 2 2

tg

2 1 2

动力放大系数： X kX 响应幅值 弹簧力幅值 F0 / k F0 弹簧静变形 激励力幅值 1 (1 2 ) 2 4 2 2

β-λ曲线(幅频特性曲线)和φ-λ曲线(相频特性 曲线)分别如下图所示。

幅频特性曲线

相频特性曲线

从幅频图和相频图可见： (1)当频率比λ<<1时(即ω<<ωn),无论阻尼的大小如何，动 力放大系数β→1,即X→F0/k, 振幅近似等于激励力幅值F0作 用下的静位移，此时φ→0,振幅取决于弹性。

幅频特性曲线

相频特性曲线

(2)λ>>1时(即ω>>ωn),无论阻尼的大小如何，φ→180°, β→0, X F02 F0 2 ,振幅大小主要取决于系统惯性。k m

(3)当λ≈1(ω≈ωn)时，φ→90°,β↑,共振发生，此时振幅大小与阻尼关系密切，当ζ→0时，X→∞。一般有 F F c 2c X 0 0 2 ,振幅大小主要取决于阻尼c。2k c k 2 n mk

幅频特性曲线

相频特性曲线

(4)相

位角φ与阻尼比ζ和频率比λ的关系： ①λ=1时，不管阻尼如何，响应(位移)总是滞后于激励90°; ②若ζ=0,当λ<1时，φ=0,即响应与激励同相位(同步), 当λ>1时，φ=180°,反相位，相位在共振点发生突变； ③若ζ>0,φ随λ增大而增大，但不会发生突变，然而在共振点 (λ=1)处φ的变化较大，特别是ζ较小时φ的变化更大。

幅频特性曲线

相频特性曲线

(5) 振幅的最大值不在ω=ωn处，而是在 1 2 2 n 这个频率才真正称为共振频率，此时振幅为：

X 当

F0 2 k 1 2

2 时，响应曲线无极值， 1为最大。 2

§3-3 工程应用1 基础激励与被动隔振 精密仪器放在振动的地基上，则与地基具有 相同的振动，现垫以减振物质，称被动隔振。

y设 y(t)=YSinωt,则

mk

x c y

c( x y ) k ( x y) m x cx kx cy ky c Y cos t kY sin t 即 m x cx kx cy ky k 2 c 2 2 Y sin( t ) 式中： tg 或 m xc k

特解(稳态解)为： x(t)=XSin(ωt-φ)式中：X Y k 2 c 2 2 (k m 2 ) 2 c 2 2 m c 3 tg k (k m 2 ) c 2 2

而X/Y说明基础激励对响应X的影响程度，称为 位移的传递率，记为1 4 2 2 X k 2 c 2 2 Tr 2 2 2 2 Y (k m ) c (1 2 ) 2 4 2 2

传递率Tr与频率比λ的关系曲线如图。

位移传递率与力传递率曲线

由图可见，当λ>1.414时，Tr<1,说明隔振区为

λ>1.414;当λ>>1时，Tr将很小，隔振效果好。由于ω不能人为控制，因此只有控制系统，使ωn很小，

而

n ,所以要么选择较软的弹簧，要么选择

K M

较大的质量。实际使用时两者兼顾，全息摄影采用 很重的平台，下面垫以减振材料，平台上放置精密 仪器；汽车运送易破碎物体(鸡蛋、玻璃电视机等) 时，则不可能选择大的质量，只有选择较小的弹簧， 如海绵、橡胶等弹性好的软材料支垫。

2 主动隔振

被动隔振是由于振源无法消除不得以而采取的一个 补救措施，以保护我们的仪器设备。但有的振源体是可 以隔离开的，如图具有偏心质量的电机，若用减振材料 将其与地基隔开，则可减小机器传给地基的力，这种预 防措施称为主动隔振(或隔力),其简化模型如图。F0 sin t

mk

x c

Fk Fc

现在来讨论由弹簧k和阻尼c传给地基的力Fk和 Fc的合力。

根据有阻尼强迫振动知识，有稳态解x(t ) X sin( t ) F0 / k (1 ) 4 2 2 2 2

sin( t )

振动传给地基的力为：Fk kx(t ) (t ) Fc cx

F0 (1 ) 4 2 2 2 2

sin( t

)

F0c / k (1 ) 4 2 2 2 2

cos( t )

地基所受合力为：R Fk Fc k 2 c 2 2 X sin( t )

其最大值为：Rmax k c X kX 1 4 F02 2 2 2 2

1 4 2 2 (1 2 ) 2 4 2 2

力的传递率Tr1 4 2 2 R max k 2 c 2 2 Tr 2 2 2 2 F0 (k m ) c (1 2 ) 2 4 2 2

与被动隔振中位移的传递率具有相同的形式，从 而要求ωn<<ω。对阻尼，当λ>1.414,阻尼越大， 则力幅也越大，但若阻尼太小，则物体通过共振 区时会产生很大振动，力幅也大。因此应选择合 适的阻尼器，即选择弹簧k和阻尼c时，既要考虑 物体的振幅不能太大，又要考虑传给地基的力幅 不能过大。