有理数的加减乘除运算--教案+例题+习题+答案

发布时间：2024-11-21

初一数学有理数的概念

有理数的加减乘除运算

一、目标认知学习目标：

掌握有理数的加法法则，会使用运算律简算；并能解决简单的实际问题。掌握有理数的减法法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，合理运算。

重点：

有理数的加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则。有理数的加法结合律、交换律；乘法交换律、结合律、乘法分配律。混合运算的顺序。

难点：

有理数运算法则的理解，尤其是有理数加法和减法法则的理解；有理数运算中的符号问题；运用运算律进行简算问题；运算的准确性问题等。

二、知识要点梳理

知识点一：有理数的加法:把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。

要点诠释：相加的两个有理数有以下几种情况：（1）两数都是正数；（2）两数都是负数；（3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；（4）一个是正数，一个是0；（5）一个是负数，一个是0；（6）两个都是0。

知识点二：有理数加法法则

根据有理数的加法法则，两数相加，先弄清这两个加数是同号还是异号，根据法则确定和的符号，然后根据法则求出和的绝对值。

要点诠释：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对

值。互为相反数的两个数相加得0。（3）一个数同0相加，仍得这个数。

知识点三：有理数加法的运算定律

要点诠释：（1）加法交换律：（2）加法结合律：

。

知识点四：有理数减法的意义

要点诠释：

初一数学有理数的概念

有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。

知识点五：有理数减法法则

要点诠释：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即

知识点六：有理数加减法统一成加法的意义

要点诠释：对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。

知识点七：有理数加减混合运算的方法

要点诠释：（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。（2）运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。

知识点八：有理数乘法法则

要点诠释：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。

知识点九：有理数乘法法则的推广

要点诠释：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。（2）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。

知识点十：有理数乘法的运算定律

要点诠释：（1）乘法交换律：（2）乘法结合律：（3）分配律：

知识点十一：倒数的概念

要点诠释：乘积是1的两个数互为倒数。

由于则ab＝1。

，所以当a是不为0的有理数时，a的倒数是。若a、b互为倒数，

初一数学有理数的概念

知识点十二：有理数除法法则

要点诠释：（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即

。

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

三、规律方法指导

1、有理数的加法运算分两种情况：同号和异号两数相加，互为相反数的两数之和为0.在运用有理数的加法运算时，关键是要确定和的符号，在具体运算过程中注意能用结合律或交换律一定要用，以便使运算简便。

2、有理数的减法法则是减去一个数等于加上这个数的相反数，这样就把减法转化为加法解，同时注意运用运算律。

3、在进行有理数的乘法运算时，关键是确定积的符号，善于应用乘法运算律，互为倒数的两个数的积为1；

4、有理数的除法运算可以转化为乘法运算进行。 5、在进行加减乘除的混合运算时，要注意运算顺序。

经典例题透析

类型一：有理数的运算问题

例1、计算

思路点拨：由于上题中有互为相反数的－

和+，同分母的4和－3.2（－3.2=－3），

可以利用加法的交换律和结合律先分别计算出它们的值，使运算简便。

解：

总结升华：互为相反数的两个数的和等于0。绝对值较大的加数是正数的两个数的和等于正数。绝对值较大的加数是负数的两个数的和等于负数。

举一反三：【变式】计算

思路点拨：先根据减法法则去掉括号，写成省略加号的代数和。再利用加法交换律把同分母的项结合到一起进行计算。一定要注意交换加数的位置时要连同前面的符号一起交换。

初一数学有理数的概念

解：原式=

总结升华：0减去一个有理数所得的差是这个有理数的相反数。要善于在有理数加减混合运算中运用减法法则把减法转化为加法。此外对于运算过程中性质符号和运算符号可以互相转化。

例2、计算①

② ③

思路点拨：①小题先确定符号，有三个负因数相乘积为负。再利用乘法交换律先计算的值。②小题利用分配律进行计算。③小题把

化为

再利用分配律进行计算。

解：①原式=

②原式=③原式=

总结升华：在进行有理数的乘法运算时，应先考虑计算结果的符号，再进行计算。在进行乘法和加减运算时，应运用乘法分配律进行简算。

举一反三：【变式】计算① ②

③

思路点拨：①小题要注意运算顺序，先算乘除，再算加减，而不能从左到右依次计算。③小题可以直接计算，也可以把

写成24+

后利用分配律进行计算。

类型二：有理数运算的实际问题

例3、超市新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg，到货后超市复秤结果如下（超过标准

重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8，+0.3，+0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？

思路点拨：本题运用了正负数的意义表示每箱橙子的重量，比如：+0.5表示这箱橙子的重量超过标准重量0.5千克，为（50+0.5）千克。因此，计算总的重量就是求所有箱重量的和。

初一数学有理数的概念

解：购进橙子的总重量为：（50+0.5）+（50+0.3）+（50-0.9）+（50+0.1）+（50+0.4）+（50-0.2）

+（50-0.7）+（50+0.8）+（50+0.3）+（50+0.1） =50×10+（0.5+0.3-0.9+0.1+0.4-0.2-0.7+0.8+0.3+0.1） =500+0.7=500.7（千克）答：超市购进的橙子共500.7千克总结升华：注意凑整进行运算比较简便

举一反三：【变式1】出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的,如果规定向东为正, 向西为负,他这天下午行车里程表示如下（单位：千米）:+15,-2,+5,-1,+10,-3,-2,+12,+4,-5,+6 ,

（1）将最后一名乘客送到目的地时,小李距离下午出车时的出发点多远? （2）如果汽车耗油量为0.8升/千米,这天下午小李共耗油多少升?

【变式2】某人用410元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果每套儿童服装以55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，－3，+2，+1，－2，－1，0，－2，当它卖完8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）多少钱？

【变式3】某教具厂加工正方体模型，在图纸上注明边长为（5±0.1）cm，表示这种正方体的边长的标准尺寸是多少？要求边长最大不超过标准尺寸多少厘米？符合要求的正方体边长最小是多少厘米？

类型三：代数式求值问题

例4、已知：a的相反数是

，b的倒数是，求算式的值

思路点拨：根据题意，可求出字母a和b所表示的数，然后再带入需要计算的代数式。在计算的过程中还要注意运算法则和顺序。

解：由题意知：

，，把它们分别代入算式，得：

初一数学有理数的概念

总结升华：互为相反数的两数的和恒为0，互为倒数的两个非零数的积是常数1.

举一反三：【变式1】已知的负倒数是5,

【变式2】已知：

的相反数是-6,求算式的值

【变式3】已知：

互为相反数，互为倒数，且。求代数式的值。

类型四：综合提高

例5、计算：

思路点拨：本题可直接计算，观察，

， ,将原式进行约分即可。

解：原式

总结升华：本题是一类典型问题，解决此类题目的关键是找到分子、分母的规律。

举一反三：【变式1】【变式2】已知：

则

初一数学有理数的概念

【变式3】现在定义两种计算“

解：

原式

。求：

，。

”和“

”，对于任意两个整数

的值。

，

【变式4】计算：

有理数的加减乘除运算

一、选择题： 1、计算：-6+3=（）

A、-9 B、9 C、-3 D、3 2、下列各组数中，互为倒数的是（）

A、-1与-1 B、0.1与1 C、-2与12 D、-43与43

3、月球表面白天的温度可达123°C，夜晚可降到-233°C，那么月球表面昼夜的温差为（） A、110°C B、-110°C C、356°C D、-356°C 4、两个有理数在数轴上的对应点位于原点的两旁，那么这两个数的商是（） A、正数 B、负数 C、零 D、以上情况都有可能 5、如果两个有理数的和是正数，那么这两个加数（）

A、一定都是正数或零 B、一定都是负数或零 C、一定都是非负数 D、至少有一个是正数

6、某天 A 种股票的开盘价为 18 元，上午 11：30 下跌了 1.5 元，下午收盘时又上涨了 0.3 元，则 A种股票这天的收盘价为（）元. A．0．3 B.16.2 C.16.8 D.18

7、一个水利勘察队沿一条河向上游走了 5.5 千米，又继续向上游走了 4.8千米，然后又向下游走了 5.2 千米，接着又向下游走了 3.8 千米，这时勘察队在出发点的（）处. A．上游 1.3 千米 B.下游 9千米 C.上游 10.3千米 D.下游 1.3千米

初一数学有理数的概念

8、计算（）

A.1 B.25 C.－5 D.35 二、填空题：

1、计算：（- 2）+5=__________；- 8 – 6=__________。 2、计算：25×（- 2/5）=__________；0÷（- 2.7）=__________。 3、- 5的倒数是__________；- 5的平方是__________。

4、按照神舟号飞船环境控制与生命保障系统的设计指标，“神舟”五号飞船返回舱的温度为21°C±4°C，该返回舱的最高温度为__________°C 5、找出满足下列条件的数：（每空格各写出一个即可）（1）加上-8，和为正数：__________；（2）乘以-8，积为正数：__________。

6、计算：（1-2+3-4+5-6+7-8+9-10）÷（-5）=__________。

7、观察下面一列数的规律，然后在横线上填上适当的数：-5，-2，1，4，7，_______，_______。三、解答题： 1、计算：

(1) (2) -9-40+25

(3) (4)(-16)