利用导数求切线

用导数求切线方程的四种类型

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0，y0)及斜率，其求法为：设P(x0，y0)是曲线y f(x)上的一点，则以P的切点的切线

方程为：y y0 f (x0)(x x0)．若曲线y f(x)在点P(x0，f(x0))的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x x0．

下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程

此类题较为简单，只须求出曲线的导数f (x)，并代入点斜式方程即可． ， 1)处的切线方程为（ ） 例1 曲线y x3 3x2 1在点(1

Ａ．y 3x 4 Ｂ．y 3x 2 Ｄ．y 4x 5

Ｃ．y 4x 3

2

， 1)处斜率k f (1) 3，故所求的切线方程为解：由f (x) 3x 6x则在点(1

y ( 1) 3(x 1)，即y 3x 2，因而选Ｂ．

类型二：已知斜率，求曲线的切线方程

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．

例2 与直线2x y 4 0的平行的抛物线y x2的切线方程是（ ） Ａ．2x y 3 0 Ｃ．2x y 1 0

Ｂ．2x y 3 0 Ｄ．2x y 1 0

解：设P(x0，y0)为切点，则切点的斜率为y |x x0 2x0 2． ∴x0 1．

，．故切线方程为y 1 2(x 1)，即2x y 1 0，故选Ｄ． 由此得到切点(11)

评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用 法加以解决，即设切线方程为y 2x b，代入y x2，得x2 2x b 0，又因为 0，得b 1，故选Ｄ．

类型三：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． ， 1)的切线方程． 例3 求过曲线y x3 2x上的点(1

解：设想P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y |x x0 3x02 2．

∴切线方程为y y0 (3x02 2)(x x0)．

y (x03 2x0) (3x02 2)(x x0)．

利用导数求切线

， 1)，把它代入上述方程，得 1 (x03 2x0) (3x02 2)(1 x0)． 又知切线过点(1

解得x0 1，或x0

1

． 2

1 1 3

故所求切线方程为y (1 2) (3 2)(x 1)，或y 1 2 x ，即

2 8 4 x y 2 0，或5x 4y 1 0．

， 1)为切点，实际上是经过了点(1， 1)且以评注：可以发现直线5x 4y 1 0并不以(1

17

为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用 28

待定切点法．

类型四：已知过曲线外一点，求切线方程

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

1

0)且与曲线y 相切的直线方程． 例4 求过点(2，

x

1

解：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y |x x0 2．

x0

∴切线方程为y y0

111(x x)y (x x0)． ，即0x02x0x02

11

2(2 x0)． x0x0

0)，把它代入上述方程，得 又已知切线过点(2，

，y0 解得x0 1

1

1，即x y 2 0． x0

0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充评注：点(2，

分反映出待定切点法的高效性．

16)作曲线y f(x)的切线，求此切线方程． 例5 已知函数y x3 3x，过点A(0，

16)不在曲线上． 解：曲线方程为y x3 3x，点A(0，

设切点为M(x0，y0)，

则点M的坐标满足y0 x03 3x0． 因f (x0) 3(x02 1)，

故切线的方程为y y0 3(x02 1)(x x0)．

16)在切线上，则有16 (x03 3x0) 3(x02 1)(0 x0)． 点A(0，

化简得x03 8，解得x0 2．

2)，切线方程为9x y 16 0． 所以，切点为M( 2，

利用导数求切线

评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．