离散数学 代数系统的一般性质-1

时间:2025-04-04

第5章 代数系统的一般 性质

代数结构

【引例】 (1)在Z集合上,x∈Z,

5.1 二 元 运 算 及 其 性 质

则f(x)=-x是将x映为它的相反 数。-x是由x唯一确定的,它是对一个数施行求相反数运 算的结果。这个运算可表示为函数: f :Z→Z(2)在R+ 集合上,x∈R+,则f(x)= 1/x是将x映为它的倒 数。1/x是由x唯一确定的,它是对R+中的一个数施行倒数 运算的结果。这个元算可以表示为函数 f : R+ → R+。 (3)设a,b∈R,则f(a,b)=a+b(a-b,a×b)是将两个数a, b映为R中的唯一的一个数,它是对R中的两个数施行加 (减,乘)法运算的结果。这个运算可以表示为函数f : R2 → R。

上述例子都是我们熟悉的数与数的运算,它们有一个共 同特征,就是其运算结果都在原来的集合中且运算结果是唯 5.1 一的,它们都是函数。

二 元 运 算 及 其 性 质

把这种 数集 中的代数运算,抽象概括推广到 一般集合上,就得到代数运算的概念。集合中的 代数运算实质上是集合中的一类函数。

二元运算的定义及其实例

定义 设 S 为集合,函数 f:S×S→S 称为 S 上的 二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 特点: - 变量和函数值的取值限定在同一个集合上。 例1 - (1) N 上的二元运算:加法、乘法. - (2) Z 上的二元运算:加法、减法、乘法. - (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除 法. - (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai °aj = ai , ° 为 S 上二元运算.

二元运算的实例(续)(5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n≥2) 实矩阵的集 M n ( R) a 21 an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann aij R, i, j 1, 2,..., n

合,即  a11

矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算:∪,∩,-, . (7) SS 为 S 上的所有函数的集合:合成运算°.

一元运算的定义与实例定义 设 S 为集合,函数 f:S→S 称为 S 上的一元 运算,简称为一元运算. 例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算: 求相反数 (2) 非零有理数集 Q*,非零实数集 R*上的一元 运算: 求倒数 (3) 复数集合 C 上的一元运算: 求共轭复数 (4) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算~ (5) A 为 S 上所有双射函数的集合,A SS: 求反 函数 (6) 在 Mn(R) ( n≥2 )上,求转置矩阵

运算符

5.1 二 元 运 算 及 其 性 质

为了简化n元运算的表示, 引入运算符来代替函数。 如符号“。”、“*”、“·”、“Δ”、“◇”等。 ①前缀表示法 *(a)=b *(a1,a2)=b *(a1,a2,a3)=b ②非前缀表示,将运算符写于n个元素之间,如Z×Z→Z 的加法: f(〈2,3〉)=+(〈2,3〉)=2+3=5 通常将f(〈2,3〉)写成f(2,3)或2+3.

运算表表

示运算

°

a1

a2

an a1°an a2°an a1 a2 . . . an

°ai °a1

a1 a2 . . . an

a1°a1 a1°a2 … a2°a1 a2°a2 … ... ... ... an°a1 an°a2 …

°a2

an°an

. . . °an

运算表的实例例4 A = P({a, b}), , ~分别为对称差和绝对补运 算({a,b}为全集) 的运算表 ~ 的运算表 {a} {b} {a,b} {a} {b} {a,b} {a} {a} {a,b} {b} {b} {b} {a,b} {a} {a,b} {a,b} {b} {a} X {a} {b} {a,b} ~X {a,b} {a} {b}

运算表的实例(续)例5 Z5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }, , 分别为模 5 加法 与乘法 的运算表 的运算表 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

1 2 3 4 0

2 3 4 0 1

3 4 0 1 2

4 0 1 2 3

0 1 2 3 4

0 0 0 0 0

0 1 2 3 4

0 2 4 1 3

0 3 1 4 2

0 4 3 2 1

例:设N3={0, 1, 2}, 则N3 上的模3 加法+3 可以 使用运算表来表示, 如表4.1 所示。注意到,运算表是对称的,这表明运算+3 满足交换律。

+3 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

5.1 二 元 运 算 及 其 性 质

定义5.2 设S是集合,n为正整数,函数 - f : S S ... S→S 称为集合S上的n元运算,整数n称为运算 的阶。-

从n元代数运算的定义可知它有三点涵义: A中任意n个元素都有运算结果; 运算是封闭的,即运算结果仍在A中; 结果是唯一的。

二元运算的性质定义5.3-5.11 设“*”,“ ”均为集合S上的二元运算。 (1)若 x,y∈S: 5.1 x*y=y*x, 二 则称运算“*” 在S上满足交换律。 元 实数集合上的加法运算;幂集上的交运算。 运 (2)若 x,y,z∈S: 算 x*(y*z)=(x*y)*z, 及 其 则称运算“*”在S上满足结合律。 实数集合上的加法运算;幂集上的交运算。 性 如果一个表达式中只有一种运算,该运算满足结合律 质 ,则可去掉标记运算顺序的括号: (x+y)+(z+w)=x+y+z+w

5.1 二 元 运 算 及 其 性 质

如果参与运算的是同一个元素,则可以用幂 的形式表示。 x*x*... *x =xn 幂运算的性质(m,n都为正整数,+是正整数 上的普通加法,乘是普通乘法):

xm*xn=xm+n(xm)n=xmn (3)若 x∈A,x*x=x,则称“*”运算满足幂等 律 。同时称S中的全体元素都是幂等元。 幂集上的 满足幂等律; 不满足幂等律,但 运算有一个幂等元 。

5.1 二 元 运 算 及 其 (5)设“*”,“ ”均可交换,若 x,y∈A,有 性 x*(x y)=x x (x*y)=x 质 则称运算“*”和“ ”运算满足吸收律。 幂集上的 和 运算满足吸收律。

(4)若 x, y, z∈S: x*(y z)=(x*y) (x* z), 则称“*”运算对“ ”运算满足左分配律; (y z)*x=(y*x) (z*x),则称“*”运算对 “ ”运算满足右分配律。 若二者均成立,则称“*”运算对“ ”运算满 足分配律。

Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集;Mn(R)为 n 阶实 矩阵集合, n 2;P(B)为幂集

;A …… 此处隐藏:1011字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

离散数学 代数系统的一般性质-1.doc 将本文的Word文档下载到电脑

    精彩图片

    热门精选

    大家正在看

    × 游客快捷下载通道(下载后可以自由复制和排版)

    限时特价:7 元/份 原价:20元

    支付方式:

    开通VIP包月会员 特价:29元/月

    注:下载文档有可能“只有目录或者内容不全”等情况,请下载之前注意辨别,如果您已付费且无法下载或内容有问题,请联系我们协助你处理。
    微信:fanwen365 QQ:370150219