离散数学 代数系统的一般性质-1
时间：2025-04-26
第5章 代数系统的一般 性质
代数结构
【引例】 (1)在Z集合上，x∈Z,
5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
则f(x)=-x是将x映为它的相反 数。-x是由x唯一确定的，它是对一个数施行求相反数运 算的结果。这个运算可表示为函数： f :Z→Z(2)在R+ 集合上，x∈R+,则f(x)= 1/x是将x映为它的倒 数。1/x是由x唯一确定的，它是对R+中的一个数施行倒数 运算的结果。这个元算可以表示为函数 f : R+ → R+。 (3)设a,b∈R,则f(a,b)=a+b(a-b,a×b)是将两个数a, b映为R中的唯一的一个数，它是对R中的两个数施行加 (减，乘)法运算的结果。这个运算可以表示为函数f : R2 → R。
上述例子都是我们熟悉的数与数的运算,它们有一个共 同特征,就是其运算结果都在原来的集合中且运算结果是唯 5.1 一的,它们都是函数。
二 元 运 算 及 其 性 质
把这种 数集 中的代数运算,抽象概括推广到 一般集合上，就得到代数运算的概念。集合中的 代数运算实质上是集合中的一类函数。
二元运算的定义及其实例
定义 设 S 为集合,函数 f:S×S→S 称为 S 上的 二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 特点： - 变量和函数值的取值限定在同一个集合上。 例1 - (1) N 上的二元运算：加法、乘法. - (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. - (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除 法. - (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai °aj = ai , ° 为 S 上二元运算.
二元运算的实例(续)(5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n≥2) 实矩阵的集 M n ( R) a 21 an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann aij R, i, j 1, 2,..., n
合，即 a11
矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：∪,∩,-, . (7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算°.
一元运算的定义与实例定义 设 S 为集合，函数 f:S→S 称为 S 上的一元 运算，简称为一元运算. 例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算: 求相反数 (2) 非零有理数集 Q*,非零实数集 R*上的一元 运算: 求倒数 (3) 复数集合 C 上的一元运算: 求共轭复数 (4) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算~ (5) A 为 S 上所有双射函数的集合，A SS: 求反 函数 (6) 在 Mn(R) ( n≥2 )上，求转置矩阵
运算符
5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
为了简化n元运算的表示， 引入运算符来代替函数。 如符号“。”、“*”、“·”、“Δ”、“◇”等。 ①前缀表示法 *(a)=b *(a1,a2)=b *(a1,a2,a3)=b ②非前缀表示，将运算符写于n个元素之间，如Z×Z→Z 的加法： f(〈2,3〉)=+(〈2,3〉)=2+3=5 通常将f(〈2,3〉)写成f(2,3)或2+3.
运算表表
示运算
°
a1
a2
…
an a1°an a2°an a1 a2 . . . an
°ai °a1
a1 a2 . . . an
a1°a1 a1°a2 … a2°a1 a2°a2 … ... ... ... an°a1 an°a2 …
°a2
an°an
. . . °an
运算表的实例例4 A = P({a, b}), , ～分别为对称差和绝对补运 算({a,b}为全集) 的运算表 ～ 的运算表 {a} {b} {a,b} {a} {b} {a,b} {a} {a} {a,b} {b} {b} {b} {a,b} {a} {a,b} {a,b} {b} {a} X {a} {b} {a,b} ～X {a,b} {a} {b}
运算表的实例(续)例5 Z5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }, , 分别为模 5 加法 与乘法 的运算表 的运算表 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0
0 1 2 3 4
0 2 4 1 3
0 3 1 4 2
0 4 3 2 1
例：设N3={0, 1, 2}, 则N3 上的模3 加法+3 可以 使用运算表来表示, 如表4.1 所示。注意到，运算表是对称的，这表明运算+3 满足交换律。
+3 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
定义5.2 设S是集合，n为正整数，函数 - f : S S ... S→S 称为集合S上的n元运算，整数n称为运算 的阶。-
从n元代数运算的定义可知它有三点涵义: A中任意n个元素都有运算结果; 运算是封闭的,即运算结果仍在A中; 结果是唯一的。
二元运算的性质定义5.3-5.11 设“*”,“ ”均为集合S上的二元运算。 (1)若 x,y∈S: 5.1 x*y=y*x, 二 则称运算“*” 在S上满足交换律。 元 实数集合上的加法运算；幂集上的交运算。 运 (2)若 x,y,z∈S: 算 x*(y*z)=(x*y)*z, 及 其 则称运算“*”在S上满足结合律。 实数集合上的加法运算；幂集上的交运算。 性 如果一个表达式中只有一种运算，该运算满足结合律 质 ，则可去掉标记运算顺序的括号： (x+y)+(z+w)=x+y+z+w
5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
如果参与运算的是同一个元素，则可以用幂 的形式表示。 x*x*... *x =xn 幂运算的性质(m,n都为正整数，+是正整数 上的普通加法，乘是普通乘法):
xm*xn=xm+n(xm)n=xmn (3)若 x∈A,x*x=x,则称“*”运算满足幂等 律 。同时称S中的全体元素都是幂等元。 幂集上的 满足幂等律； 不满足幂等律，但 运算有一个幂等元 。
5.1 二 元 运 算 及 其 (5)设“*”,“ ”均可交换，若 x,y∈A,有 性 x*(x y)=x x (x*y)=x 质 则称运算“*”和“ ”运算满足吸收律。 幂集上的 和 运算满足吸收律。
(4)若 x, y, z∈S: x*(y z)=(x*y) (x* z), 则称“*”运算对“ ”运算满足左分配律； (y z)*x=(y*x) (z*x),则称“*”运算对 “ ”运算满足右分配律。 若二者均成立，则称“*”运算对“ ”运算满 足分配律。
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实 矩阵集合, n 2;P(B)为幂集
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