立体几何文科汇编

16、如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：

（1）直线EF‖平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD

（19）（本小题满分13分）

如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，

OA 1，OD 2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线BC∥EF；

（Ⅱ）求棱锥F OBED的体积.

17．（本小题共14分）

如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.

（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP； （Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；

（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由

.

20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

（I）求证：CE⊥平面PAD；

（11）若PA=AB=1，AD=3，

CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积 18．（本小题满分13分） 图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一

,D'E'的中点， ,C'D',DE半沿切面向右水平平移后得到的．A，A′，B，B′分别为CD

'

分别为CD,C'D',DE,D'E'的中点．

O1,O1',O2,O2

（1）证明：O1',A',O2,B四点共面；

''''''''''

（2）设G为A A′中点，延长\AO到H′，使得．证明：BO 平面

HBG OH AO1211

18．（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2

，侧棱长为

3E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB

1上，且AE

,BF ．

（I） 求证：CF C1E；

（II） 求二面角E CF C1的大小。

19．（本题满分12分）

如图3，在圆锥PO

中，已知PO O的直径

AB 2,点C在 AB上,且 CAB=30 ,D为AC的中点．

（I）证明：AC 平面POD;

（II）求直线和平面PAC所成角的正弦值．

18.(本小题满分12分）

如图，在 ABC中， B=

2

，AB BC 2,P为AB边上一动点，PD//BC交AC于

点D,现将 PDA沿PD翻折至 PDA',使平面PDA' 平面PBCD. （1）当棱锥A PBCD的体积最大时，求PA的长；

（2）若点P为AB的中点，E为AC的中点，求证：AB DE. 18．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=（I）证明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．

'

'

'

1

PD． 2

20．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S ABCD中， AB CD,BC CD，侧面SAB为等边三角形，

AB BC 2,CD SD 1．

（I）证明：SD 平面SAB；

（II）求AB与平面SBC所成的角的大小。

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，D1D 平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，AD=A1B1， BAD=60° （Ⅰ）证明：AA1 BD； （Ⅱ）证明：CC1∥平面A1BD．

16．（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。

（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ；

（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。

20、（14分）已知ABCD A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1 2。求： ⑴ 异面直线BD与AB1所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；

B

D

⑵ 四面体AB1D1C的体积。

19．（本小题共l2分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．

（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；

（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；

17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为

平行四边形， ADC 45，AD AC 1，O为AC中点，

PO 平面ABCD， PO 2，

M为PD中点．

（Ⅰ）证明：PB//平面ACM；

（Ⅱ）证明：AD 平面PAC；

（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形， DAB 60 ，AB 2AD，PD 底面ABCD． （I）证明：PA BD； （II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．

（20）（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC中，AB

AC

，D

为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）已知BC 8，PO 4，AO 3，OD 2．求二面角B AP C的大小． 20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）

如题（20）图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，

AB BC,AC AD 2,BC CD 1 （Ⅰ）求四面体ABCD的体积；

（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。

2011年高考立体几何文科答案汇编

（江苏卷）

（安徽卷） （19）（本小题满分13分）本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.

（I）证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以

1

DE，OG=OD=2， = 2

同理，设G 是线段DA与FC延长线的交点，有OG OD 2. 又由于G和G 都在线段DA的延长线上，所以G与G 重合.

11

在△GED和△GFD中，由OB∥DE和OC∥DF，可知B和C分别是GE和GF

= 22OB∥

的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF. （II）解：由OB=1，OE=2， EOB 60 ,知SEOB

，而△OED是边长为2

的正2

三角形，故SOED .

所以SOEFD SEOB SOED

33

. 2

13FQ SOBED . 32

过点F作FQ⊥DG，交DG于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥

F—OBED的高，且FQ=3，所以VF OBED

（北京卷）

（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，

所以DE//PC。

又因为DE 平面BCP， 所以DE//平面BCP。

（Ⅱ）因为D，E，F，G分别为 AP，AC，BC，PB的中点，

所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。 所以四边形DEFG为平行四边形， 又因为PC⊥AB， 所以DE⊥DG，

所以四边形DEFG为矩形。

（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下： 连接DF，EG，设Q为EG的中点

由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=

1

EG. 2

分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。

与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q， 且QM=QN=

1

EG， 2

所以Q为满足条件的点. （福建卷）

20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查

空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分

（I）证明：因为PA 平面ABCD，CE 平面ABCD，

所以PA CE.

因为AB AD,CE//AB,所以CE AD. 又PA AD A,

所以CE 平面PAD。

（II）由（I）可知CE AD，

在Rt ECD中，DE=CD cos45 1,CE CD sin45

1,

又因为AB CE 1,AB//CE， 所以四边形ABCE为矩形，

所以S四边形ABCD S矩形ADCE S ECD AB AE 115CE DE 1 2 1 1 . 2又PA 平面ABCD，PA=1， 所以V四边形P ABCD

1155

3S四边形ABCD PA 3 2 1 6

.

（广东） 18．（本小题满分13分）

证明：（1） A,A 分别为CD

,C D 中点，

O1 A //O1A

连接BO2

直线BO2是由直线AO1平移得到

AO1//BO2

O1 A //BO2

O1 ,A ,O2,B共面。

（2）将AO1延长至H使得O1H=O1A，连接HO1 ,HB,H H 由平移性质得O1 O2 =HB

// BO2 //HO1

A G H OH GA H

1 ,H H A H , O1 H 2

GA H O1 H H

H O GH A

1 H2

O1 H H G BO2 H G

O1 O2 B O2 ,O1 O2 O2 O2,B O2 O2 O2 O2 O1 O2 平面B BO2O2

O1 O2

BO2

22

BO2 H B H B H G H

BO2 平面H B G.

（湖北卷）

18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力

和推理论证能力。（满分12分）

解法1：

（Ⅰ）由已知可得CC1 CE C1F

EF2 AB2 (AE BF)2,EF C1E 于是有EF2 C1E2 C1F2,CE2 C1E2 CC12 所以C1E EF,C1E CE

又EF CE E,所以C1E 平面CEF. 由CF 平面CEF,故CF C1E.

（Ⅱ）在

CEF中，由（Ⅰ）可得EF CF

于是有EF2+CF2=CE2，所以CF EF.

CE 又由（Ⅰ）知CF C1E，且EF C1E E，所以CF 平面C1EF， 又C1F 平面C1EF，故CF C1F。

于是 EFC1即为二面角E—CF—C1的平面角。

由（Ⅰ）知 C1EF是等腰直角三角形，所以 BFC1 45 ，即所求二面角E—CF—C1的大小为45 。

解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得

A(0,0,0),B,0),C(0,2,0),C1EF

（Ⅰ）C1E (0, 2,CF 1

C1E CF 0 2 2 0 CF C1E.

（Ⅱ

）CE (0 ，)设平面CEF的一个法向量

为,22

m (x,y,z)

m CE 0,由m CE,m CF,得

m CF 0,

2y 0,

即可取m y 0

设侧面BC1

的一个法向量为n,由n BC,n CC1,及CB 1,0)

CC1 (0,0,2),可取n (1,3,0)

设二面角E—CF—C1的大小为θ，于是由θ为锐角可得

cos

|m n|，所以 45

|m| |n|2 即所求二面角E—CF—C1的大小为45 。

（湖南卷） 19．（本题满分12分）

解析：（I）因为OA OC,D是AC的中点,所以AC OD.

又PO 底面 O,AC 底面 O,所以AC OD.PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC 平面POD;

（II）由（I）知，AC 平面POD,又

AC 平面PAC,所以平面POD 平面PAC,在

平面POD中，过O作OH PD于H,则

OH 平面PAC,连结CH，则CH是

OC在平面PAC上的射影，所以 OCH是直线

OC和平面PAC所成的角．

1

在Rt POD中,OH

3在Rt OHC中

,sin OCH

OH

OC