1.4.2

正弦函数、余弦函数的性质

第一课时

问题提出

1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什 么？二者有何相互联系？1 -6π y

y=sinxπ 3π 2π 4π 5π

-4π-5π -3π

-2π

-πO

x 6π

-1 2

2 2 2

1 2O

y

2 2

y=cosx 2 2

2

x

2

-1

2

2.世界上有许多事物都呈现“周而复始” 的变化规律，如年有四季更替，月有阴 晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性， 在函数领域里，周期性是函数的一个重 要性质.

知识探究(一):周期函数的概念

思考1:由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔2π 个单位重复出现， 这一规 律的理论依据是什么？.

sin( x 2k ) sin x (k Z )

思考2:设f(x)=sinx,则sin( x 2k ) sin x可以怎样表示？其数学意义如何？

思考3:为了突出函数的这个特性，我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ 为 这个函数的周期.一般地，如何定义周期 函数？ 对于函数f(x),如果存在一个非 零常数T,使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫 做这个函数的周期.

思考4:周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？

思考5:如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？

思考6:就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？ 正、余弦函数是周期函数，2kπ (k∈Z, k≠0)都是它的周期，最小 正周期是2π .

理论迁移

例1 求下列函数的周期： (1)y=3sinx; x∈R (2)y=cos2x,x∈R x p (3) y = 2 sin( 2 - 6 ) , x∈R ;;

例2 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,试判断f(x)是否为周 期函数？

知识探究(二):周期概念的拓展 思考1:函数y=3sin(2x+4)的最小正 周期是多少？ 思考2:一般地，函数 y = A sin( wx + j )(A ? 0, w 0) 的最小正周期是多少?

思考3:如果函数y=f(x)的周期是T,那 么函数y=f(ω x+φ )的周期是多少？

例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x+1)=f(x-1),且当x∈[0,2]时， f(x)=x-4,求f(10)的值.

小结作业

1.函数的周期性是函数的一个基本性质， 判断一个函数是否为周期函数，一般以 定义为依据，即存在非零常数T,使f(x +T)=f(x)恒成立.

2.周期函数的周期与函数的定义域有关， 周期函数不一定存在最小正周期. 3.周期函数的周期有许多个，若T为周期 函数f(x)的周期，则T的整数倍也是f(x) 的周期.

4.函数 y = A sin( wx + j ) 和 y = A cos(wx + j )(A ? 0, w

,这 是正、余弦函数的周期公式，解题时可 以直接

应用.

0)的最小正周期都是

2p w

作业：P36练习：1,2,3.

1.4.2

正弦函数、余弦函数的性质 第二课时

问题提出

1.周期函数是怎样定义的？ 对于函数f(x),如果存在一个非 零常数T,使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x +T)=f(x), 那么函 数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就 叫做这个函数的周期.

2.正、余弦函数的最小正周期是多少？ y = A cos(wx + j ) y = A sin(wx和j ) + 函数(A ? 0, w 0)

的最小正周期是多少？

3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.