数学思想方法论

高等数学思想方法论

数学思想方法论

Tel 15881752994 Email gaobcsy@http://

数学思想方法论

§1 发展的主要历史沿革19世纪末期，许多西方国家的科学技术迅猛发展，对 人才的需求发生了巨大变化，当时号称“世界银行”、 “世界工厂”的英国率先开始了对19世纪数学教育的批 判，其他一些资本主义国家也都积极地响应，由此导致 了20世纪初世界范围的数学教育改革运动。改革的热点 问题是如何培养学生思考问题与分析问题的能力，提出 中学数学教育的根本宗旨是“教会年轻人思考”。

数学思想方法论

美籍匈牙利数学家波利亚(George Polya,1887-1985)后 出版了《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与想》这些书 被译成多国文字，成了世界范围内的数学教育名著，开起数学 思想方法研究的先河。1972年，美国著名数学家、数学史家克 莱因(Morris Kline,1908-1992)出版了一部长达1200页的巨著--《古今数学思想》,系统地叙述和总结了古今数学思想发展史， 至今仍是世界经典的数学思想方法教科书。 在我国，徐利治院士倡导“数学方法论”研究，出版《数 学方法论选讲》(1983年)专著，居功巨伟。同时，姜伯驹士、 李大潜院士、张景中院士、刘应明院士等的大力倡导，加之 “中学数学解题”的社会需求，数学思想方法的研究在数学教 育界得到迅速普及，著作和论文迭出。

数学思想方法论

自1993年《中学数学教学大纲》明确提出数学思想 方法是数学基础知识的重要组成部分以来，数学教学中 如何挖掘课本中所蕴含的数学思想方法，如何有效地进 行数学思想方法教学，如何培养和发展学生的数学思想， 已成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一个重要 课题。 20世纪90年代，北京大学、南京大学等一大批高等 院校数学系，相继开设《数学方法论》选修课，徐利治 的《数学方法论选讲》作为主要教学参考书。进入21世 纪，我国高等院校特别是师范院校几乎都开设了《数学 思想方法》必修课或选修课，包括中央电视大学数学专 业“专升本”,都把《数学思想方法》作必修课(54学 时)。我校是开设该门课程较早的院校，从1996年起开

数学思想方法论

设《数学思想方法》选修课，2000年起改为必修课， 至今已有12届学生学习该门课程，学生普遍对该门课 程持肯定和欢迎态度。

数学思想方法论

§2 数学思想方法的相关概念一、方法方法：它是一个元概念，它和点、线、面、体、运动、 方法：它是一个元概念，它和点、 运动、 集合等概念一样，不能逻辑的定义， 集合等概念一样，不能逻辑的定义，只能概略的加以描 述。 在汉语《辞海》中也未收录“方法”辞条，它和“物 质”、“集合”等概念一样，不能逻辑的定义，只能概略 地描述。

在英语中方法一词的表示是method,此词来源于 希腊语，意思是“沿着某条道路行进”。这里有这样一个 点石成金的故事可以用来说明什么是方法。传说中有个神 仙能够点石成金，他把点成了金子的石头赐给要求求助的 穷人。但是，有一个求助的人总是摇头，表示他不要金子， 原来他想要神仙的手指头。这里我们所说的方法就相当于 那个能够点石头成金子的手指头。

数学思想方法论

数学方法

顾名思义，数学方法是人们从事数学活动时所使 用的方法.数学方法论则是对古往今来的数学方法进 行概括、分类、评价以及如何运用的论述. 徐利治院士认为：“数学方法论主要是研究和讨论 数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发 现、发明与创新等法则的一门学问。” 数学方法论从内容上可分为宏观与微观两大类： (1)宏观数学方法论是研究“数学发展规律”, 如数学发展史，数学中的辩证法、数学中的美学方 法数学中的思维方法等，因此可以看作哲学的一个 分支;

数学思想方法论

(2)微观数学方法论研究数学中的思想、方法以及法则， 属于学科方法论范畴。 从总体来说，数学方法有以下四个层次： 第一，基本的和重大的数学思想方法。如模型化方法、 微积分方法、概率统计方法、拓扑方法、算法化方法等 等，它们决定一个大的数学学科方向，构成数学的重要 基础。 第二，与一般科学方法相应的数学方法。如类比联想、 分析综合、归纳演绎等等。一般科学方法，在用于数学 时应该有它自己的特点。 第三，数学中的特有的方法。如数学等价、数学表示、 公理化、关系映射反演、数形转换等等方法。其中“关 系、映射、反演”方法是徐利治先生的一项创造性的概 括.这些方法主要在数学中产生和适用，当然也可部分 地迁移到其他科学。

数学思想方法论

第四，中学数学中的解题技巧。由于它的内容 是初等数学，规律较为明确，又易于深入解剖， 较为中学数学教师所关注。例如因式分解中的 十字相乘法，解二次方程中的配方法，几何中 的尺规作图法，解析几何中确定直线的点斜式、 两点式等等。

数学思想方法论

数学思想 数学思想，人们常用它来泛指某些有重大意义的、内 容比较丰富、体系相当完整的数学成果. 比如微积分思 想、概率统计思想、变换群下的不变量思想等等. 另一类是范围较小，内容具体、相对独立的数学成果。 比 如函数思想、极限思想、积分思想、方程思路想等等. 但 从这些例子来说，“思想”都可换成“方法”而一样适 用.同一个数学成就，当用它去解决别的问题时，就称之 为方法。当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，称 之为思想。

将这两重意义合在一起，就称为“数学思想方 法”。 比如，“极限”,用它去求导数、求积分、解方程 时，人们就说极限方法。当我们讨论它的价值，即将变化 过程趋势用数值加以表示，使无限向有限转化时，人们就 讲“极限思想”了。为了将这两重意思合在一起说，于是 也称“极限思想方法”。

数学思想方法论

其实，数学思想和数学方法往往不加区别。克莱因的巨著 《古今数学思想》,其实说的都是“古今数学方法”.只 不过从数学史角度看，人们更多注意那些数学大家们的思 想贡献，文化价值，较少从“方法”的有用去考虑，因而 才称之为数学思想。进入21世纪，人们更加关注数学的思 想内涵，数学的文化价值，因此也就更多的称为数学思想 方法。

数学思想方法论

学习数学思想方法的目的和意义数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本 策略，是数学的灵魂。因此理解和掌握以数学知识 为载体的数学思想方法，能提高学生的思维水平、 使其真正懂得数学的价值，建立数学的数学观念， 从而它是发展数学、运用数学的重要保证，也是现 代教学思想与传统教学思想根本区别之一。 日本数学家和数学教育家米山国藏在从事多年数 学教育研究之后，说过这样一段话：“学生们在初 中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎 没有什么机会应用，因而这种作为知识的教学，通 常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们 从事什么

数学思想方法论

业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法， 却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”来表达他对 数学思想方法重要作用的认识。理论研究和人才成长的轨迹 也都表明，数学思想方法在人的能力培养和素质提高方面具 有重要作用。 可以说，数学上的发现、发明主要是方法上的创新。典型 的例子是伽罗瓦(E·Galois)开创了置换群的研究，用群论 方法确立了代数方程的可解性理论，彻底解决了一般形式代 数方程根式解的难题。另外解析几何的创立解决了形、数沟 通和数形结合及其互相转化的问题。对应的思想方法解决了 无穷集元素 “多少”的比较问题，可以把无穷集按“势” (或基数)分成不同的“层次”,等等。我们从中可体会到， 有了方法才是获得了

数学思想方法论

“钥匙” ,数学的发展绝不仅仅是材料、事实、知识的积 累和增加，而必须有新的思想方法的参与，才会有创新， 才会有发现和发明。 因此，从宏观意义来说，数学思想方法是数学发现、 发明的关键和动力。从微观意义上来说，在我们的数学 教学和数学学习中，要再现数学的发现过程，揭示数学 思维活动的一般规律和方法。只

有从知识和思想方法两 个层面上去教和学，使学生从整体上、从内部规律上掌 握系统化知识，以及蕴含于知识中以知识为载体的思想 方法，才能形成良好的认知结构，才能有助于学生的主 动建构，才能提高学生洞察事物、寻求联系、解决问题 的思维品质和各种能力，最终达到培养现代化社会需要 的创新型人才的目的。

数学思想方法论

§3课程的内容 课程的内容(一)数学思想方法的两个源头 古希腊的《几何原本》 中国的《九章算术》 (二)、微积分的思想方法 微积分思想的孕育、牛顿的微积分思想、莱布尼兹的微 积分思想、牛顿与莱布尼兹微积分思想的比较。 (三)、微积分思想方法的深化与发展 以极限为核心的思想、函数概念的深化、向多元微 积分推广、无穷级数的思想方法、常微分方程的思想方 法。