三角函数-4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式(教师)
时间:2025-04-06
时间:2025-04-06
高三数学(理)一轮复习三角函数每个小节的教案 练习
响水二中高三数学(理)一轮复习
教案 第四编 三角函数及三角恒等变换 主备人 张灵芝 总第17期
§4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式
基础自测
1.(2008·常州模拟)sin( + )-cos( + )·cos(- )+1的值为 . 答案 2
2.sin210°= . 答案
12
2
12
3.已知tan =
55
,且 ∈ ,
3
2
,则sin 的值是 .
答案 4.若
=2,则sin( -5 )·sin
3
2
sin cos sin cos
= .
答案
310
55
5.已知sin =答案
35
,则sin -cos 的值为44
例题精讲
例1 已知f( )=
sin( )cos(2 )tan( )
tan( )sin( )
;
3 1
2 5
(1)化简f( ); (2)若 是第三象限角,且cos 解 (1) f( )=
sin cos ( tan )
tan sin
,求f( )的值.
=-cos .
3
(2)∵cos
2
25
=-sin ,∴sin =-
15
,cos =-
5
2
15
2
25
6
,
∴f( )=
例2 已知-
2
6
.
15
<x<0,sinx+cosx=.
1
cos
2
(1)求sinx-cosx的值; (2)求解 (1)方法一 联立方程:
x sin
2
的值.
x
109
高三数学(理)一轮复习三角函数每个小节的教案 练习
cosx 1 sinx ①
5 由①得sinx=
1-cosx,将其代入②,整理得
sin2x cos2x ②5
1
sinx325cos2
x-5cosx-12=0∵-
2<x<0,∴ 5
cosx 4
,所以sinx-cosx=-
75
52
方法二 ∵sinx+cosx=15
,∴(sinx+cosx)
2
= 1
,即1+2sinxcosx=
1,
5
25
∴2sinxcosx=-24,∵(sinx-cosx)2
=sin2
x-2sinxcosx+cos2
25
x
=1-2sinxcosx=1+24=
49 ①,又∵-
<0,cosx>0,∴sinx-cosx<0 25
25
2
<x<0,∴sinx由①②可知:sinx-cosx=-7.
5
sinx cosx1
sinx 3 (2)由已知条件及(1)可知
5
,解得
5
sinx cosx 7,
cosx
5 4
5sin
2
x cos2
x
2∴tanx=-
31
sin2x cosx=
cos
2
x
tan
2
x 1
4
.,又∵
cos
2
x sin
2
x
cos
2
x sin
2
x
cos
2
sin
2
=
x
1 tan2
xx
cos2
x
3
2
=
4 1
1 3 2
257
4
例3 已知tan =2,求下列各式的值: (1)
2sin 3cos 2sin2 3cos2 4sin 9cos
;(2)
;
4sin
2
9cos
2
(3)4sin2
-3sin cos -5cos2
. 解 (1)原式=
2tan 34tan 9
2 2 34 2 9
1
.
2sin22)
3cos 2 32 22(24sin
2
9cos
2
2tan
3
5.
4tan
2
9
4 2
2
9
7
(3)∵sin2 +cos2
=1,
∴4sin2 -3sin cos -5cos2
=
4sin
2
3sin cos 5cos
2
4tan
2
3tan 5
4 4 3 2 5
sin
2
cos
2
=
2
4 1
1.
tan 1
110
②
高三数学(理)一轮复习三角函数每个小节的教案 练习
巩固练习
3
tan( )cos(2 )sin
2
cos( )sin( )
1.化简.
( tan ) cos( ) sin
2
( cos ) sin
解 原式=
( tan ) cos ( ) sin
2
cos( ) sin( )=
=
tan cos ( cos )
cos sin
=
tan cos
sin
=
sin cosa
cosasin
=-1.
2.已知sin +cos =
15
33
, ∈(0, ).求值:(1)tan ;(2)sin -cos ;(3)sin +cos .
解 方法一 ∵sin +cos =∴sin cos =-解方程得x1=
45
1225
15
, ∈(0, ),∴(sin +cos )=
2
125
=1+2sin cos ,
2
<0.由根与系数的关系知,sin ,cos 是方程x-35
15
x-
1225
=0的两根,
,x2=-43
.∵sin >0,cos >0,∴sin =
75
33
.(3)sin +cos =
45
,cosθ=-37
35
.
∴(1)tan =-.(2)sin -cos =
125
.
方法二 (1)同方法一.
(2)(sin -cos )=1-2sin ·cos =1-2×
2
12
25
=
4925
.
75
∵sin >0,cos <0,∴sin -cos >0,∴sin -cos =.
15
3322
(3)sin +cos =(sin +cos )(sin -sin cos +cos )=× 1
12
25
=
37125
.
3.已知sin( +k )=-2cos( +k ) (k∈Z). 求:(1)
4sin 2cos 5cos 3sin
; (2)
14
2
sin +
25
2
cos .
解 由已知得cos( +k )≠0,∴tan( +k )=-2(k∈Z),即tan =-2. (1)
4sin 2cos 5cos 3sin
4tan 25 3tan 1
22
10
.
1
25 725
(2)
14
2
sin +
25
2
cos =
4
sinsin
25
cos
2
2
=
4
tantan
22
1
.
cos
回顾总结 知识
111
高三数学(理)一轮复习三角函数每个小节的教案 练习
方法 思想
课后作业
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