MATLAB控制系统仿真

第三章 连续系统数值积分仿真方法学

主讲教师：姜萍

MATLAB控制系统仿真

第三章 连续系统数值积分仿真方法学 第一节 第二节 数值积分法的基本原理 数值积分法的单步算法

第三节

数值积分法的多步算法

MATLAB控制系统仿真

如何把已建立起来的数学模型转换成仿真运 算模型(二次建模),以便为分析解决实际问题 服务那是系统仿真学科的一个重要研究内容。

对于复杂的数学模型来说，求其解析解是很 烦琐和困难的，大多数情况下不求出解析解，或 者根本不存在解析解，因此借助于数值解法对连 续系统进行仿真研究。用计算机不可能求出系统的解析解(连续) 只能求出连续响应曲线上的有限个点，即数值解

MATLAB控制系统仿真

描述各类系统最基本的模型用微分方程或状 态空间表达式，二次建模就是要求出适合用数字 计算机求解的模型，就需要把微分运算转化成算 术运算在用计算机求解。 连续系统数值积分法：就是利用数值积分方 法对常微分方程建立离散化形式的数学模型(差 分方程)并求出数值解。最常用的数值解法有： 欧拉法、梯形法、Adams、Runge—Kutta法。

MATLAB控制系统仿真

第一节

数值积分法的基本原理

以一阶连续系统为例，微分方程及初值如下： 首先把需仿真研究的系统表示成一阶微分方程组或 状态方程的形式。 x (t ) f (t , x,u(t )) x (t ) x 0 0

连续解为：x(t ) x(t0 ) f (t , x, u (t ))dt在时间点 t t0,t1,t2, ,t n, 处的解为：t0

t n 1

x ( t n 1 ) x ( t 0 )

t n 1 t0

f ( t , x , u(t ))dtt n 1 tn

x(t0 ) f (t , x, u (t ))dt f (t , x, u (t )) dtt0

tn

x(tn 1 ) x(tn ) f (t , x, u (t ))dttn

t n 1

MATLAB控制系统仿真

t 希望找到一个近似公式 xn 1 xn Qn x( t n 1 ) x( t n ) f ( t , x , u( t ))dt t 来表示方程的近似解： tn 1

Qn x n 为精确值 x (t n )的近似值n

n 1

f ( t , x , u( t ))dt

tn

Qn 为准确积分值

t n 1

所谓微分方程初值问题的数值解法就是寻求 真解在一系列离散点 t t1 t(精确值) x(t ), x(t ), , x( ), tn 2

tn

f (t , x ,u(t ))dt 的近似值

上的近似解 x1, x 2, , x n , (数值解) 相邻两个时间离散点的间隔 hn t n 1 t n 称为计 算步距或步长，通常情况为定值，也有变步长。

1

2

n

MATLAB控制系统仿真

MATLAB控制系统仿真

可见，微分方程初值问题数值解法的主要问 题归结为对t n 1

tn

f (t, x,u(t ))dt

如何求出定积分的近似解

为此，要先把连续的微分方程用数值积分法 转化为离散的差分方程的初值问题，然后根据初 始条件X0逐步递推计算出后续时刻 ,t2, ,tn, t1

的数值解：x1, x2, , xn, 数值解法的共同特点是步进式的递推算法， 主要有：单步法、

多步法和预估-校正法，并有 显式和隐式之分。

MATLAB控制系统仿真

第二节

数值积分法的单步算法

一、欧拉法(Euler Method)Euler法是最简单的一种数值积分法的单 步运算，虽然计算精度较差，但几何意义明显， 便于理解，能说明构造数值积分算法的基本思 想。 下面采用三种方法推导出Euler法的数值 近似公式，以便对数值积分器的基本思想能透 彻了解。

MATLAB控制系统仿真

1、Taylor级数展开以一阶连续系统为例， x (t ) f (t , x,u(t )) x (t ) x 微分方程及初值如右： 0 0 x(t)为解析解，将x(t)展开成Taylor级数只取一次项，其余忽略 x (t n 1) x (t n ) x (t n )h x (t n ) 2 x (t n 1) x (t n h) x (t n ) x (t n )h h 2!

x (t n ) f (t n , x n ,un )h

写成差分方程为 x n 1 x n hf (t n , x n ,un ) 这就是解微分方程初值问题的欧拉算法。

MATLAB控制系统仿真

2、矩形近似 x (t ) f (t , x,u(t ))在 对方程 x (t ) x tn ,tn 1 上求积分 0 0t n 1

x (t n 1) x (t n )

把积分区间 h 取得足够小，将 f (t, x,u(t )) 在 t n ,t n 1 近似为常数 f (t n , x n ,un (t )) 用左矩形面积近似该区 间的曲线面积 x (t n 1) x (t n ) f (t n , x n ,un )h 也能得到：x n 1 x n hf n

tn

f (t , x,u(t ))dt

MATLAB控制系统仿真

左矩形(也称为前向欧拉法)近似及误差

f(t) 误差 fn

fn+1

左矩形近似

tn

tn+1

t

MATLAB控制系统仿真

t n 1

对积分

x (t n 1) x (t n )

将 f (t, x,u(t )) 在 t n ,t n 1 近似为常数f (t n 1, x n 1,un 1(t ))

tn

f (t , x,u(t ))dt

用右矩形面积近似该区间的曲线面积x (t n 1) x (t n ) f (t n 1, x n 1,un 1)h

得到：

x n 1 x n hf n 1

这是右矩形欧拉公式，是一个隐式算法.

MATLAB控制系统仿真

右矩形(也称为后向欧拉法)近似及误差

f(t) fn

误差

fn+1

右矩形近似

tn

tn+1

t

MATLAB控制系统仿真

3、切线近似(1) 在 t n 的一个小邻域内，曲线x(t)可用 t n 处的切 t n 处的斜率为： 线来表示， x(t) 在

过点 t n , x n 以 fn 为斜率的切线方程为： x x n f (t n , x n ,un )( t t n ) 取切线上t n 1 处的值来近似 x (t n 1)x (t n 1) x (t n ) hf (t n , x n ,un )

dx f (t n , x n ,un (t )) dt t t n

也能得到： x n 1 x n hf n

前向欧拉法

MATLAB控制系统仿真

3、切线近似(2)

在 t n ,t n 1 曲线 x(t) 可用t n 1 处的切线来表示， x(t) 在 t n 1 处的斜率为： 过点 t n , x n 以 fn+1 为斜率的切线方程为： x x n f (t n 1, x n 1,un 1)(t t n ) 取切线上 t n 1 处的值来近似 x (t n 1)x (t n 1) x (t n ) hf (t n 1, x n 1,un 1)dx f (t n 1, x n 1,un 1(t )) dt t t n 1

也能得到：

x n 1 x n hf n 1 后向欧拉法