第七章 平稳时间序列模型预测

平稳时间序列模型预测设平稳时间序列{ X t }是一个ARMA(p,q)过程，即 X t = φ1 X t 1 + L + φ p X t p + ε t θ1ε t 1 L θ qε t q , 本章将讨论其预测问题，设当前时刻为t,已知 t 时刻t和以前时刻的观察值 xt , xt 1 , xt 2 ,L 我 t 们将用已知的观察值对时刻t后的观察值 xt +l ( l > 0 ) 进行预测，记为 xt ( l ),称为时间序列 { X t } 的第 l 步预测值。 ε t ~ WN ( 0, σ 2 ) , s < t , E ( X s ε t ) = 0

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第七章 平稳时间序列模型预测

§7.1 最小均方误差预测考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准， 一个很自然的思想就是预测值 xt ( l)与真值 xt+l 的均 方误差达到最小，即设

et ( l ) = X t +l xt ( l ) 预测值 xt ( l )与真值 xt +l 的均方误差

我们的工作就是寻找 xt ( l ),使上式达到最小。 下面我们证明最小均方误差预测就是

E e ( l ) = E X t +l xt ( l ) 2 t

2

E ( X t +l X t , X t 1 ,K)

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第七章 平稳时间序列模型预测

条件无偏均方误差最小预测设随机序列 X1, X 2 ,K ,满足 E t =µ, E <∞ ,则 X X 如果随机变量 f ( X 1 ,K , X n ) 使得2 t

E X n +1 f ( X 1 ,K , X n ) X 1 ,K , X n 2

(

)

达到最小值，则 f ( X1,K, Xn ) = E Xn+1 X1,K, Xn 如果随机变量 f ( X 1 ,K , X n ) 使得E X n +1 f ( X 1 ,K , X n ) 2

达到最小值，则 f ( X 1 ,K , X n ) = E X n +1 X 1 ,K , X n 上海财经大学 统计与管理学院 3

第七章 平稳时间序列模型预测

因为xt ( l )可以看作为当前样本和历史样本 X t , X t 1 ,K的函数，根据上述结论，我们得到， 当 xt ( l ) = E ( X t +l X t , X t 1 ,K) 时， 使得 2 2 E et ( l ) = E X t +l xt ( l ) 达到最小。 对于ARMA模型，下列等式成立：E ( X t +l

E ( X k X t , X t 1 ,K) = xk ,

E ( ε k X t , X t 1 ,K) = 0,

E ( ε k X t , X t 1 ,K) = ε k ,

(k ≤ t ) X t , X t 1 ,K) = xt ( l ) , ( l > 0 )

(k ≤ t ) (k > t )4

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第七章 平稳时间序列模型预测

ARMA模型的预测方差和预测区间 ARMA模型的预测方差和预测区间如果ARMA模型满足因果性，则有Φ ( B) Xt = εt = G ( B )εt Θ( B) = ∑ G jε t jj =0 ∞

所以，预测误差为 et ( l ) = X t +l xt ( l ) = ∑ G jε t +l j ∑ Gl + jε t = G0ε t + l j∞ ∞

E ( et ( l ) ) = 0

j =0

j =0

+ G1ε t +l 1 + L + Gl 1ε t +1

E et2 ( l ) = var ( et ( l ) ) = E X t +l xt ( l ) = ( G02 + G12 + L + Gl2 1 ) σ 2 2

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第七章 平稳时间序列模型预测

var ( X t +l X t , X t 1 ,K) = E X t +l E ( X t +l ) X t , X t 1 ,K 2

(

)

= E X t +l xt ( l ) = var ( et ( l ) )

2

= ( G02 + G12 + L + Gl2 1 ) σ 2

xt 由

此，我们可以看到在预测方差最小的原则下，( l ) 是X t +l 当前样本 X t 和历史样本 X t , X t 1 ,K 已知条件下得到的条 件最小方差预测值。其预测方差只与预测步长 l 有关， 而与预测起始点t无关。当预测步长 l 的值越大时，预测 值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预 测步长 l 不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间 序列分析只适合做短期预测。

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第七章 平稳时间序列模型预测

进一步地，在正态分布假定下，有

X t +l X t , X t 1 ,K ~ N xt ( l ) , ( G02 + G12 + L + Gl2 1 ) σ 2

(

)

由此可以得到 X t +l 预测值的95%的置信区 间为 ( x t (l ) 1.96 var ( et (l )) , x t (l ) + 1.96 var ( et (l )) ) 或者

( x (l ) 1.96σ (G + G +L+ Gt 2 0 2 1

2 12 l 1

)

, xt ( l ) +1.96σ ( G + G +L+ G2 0 2 1

2 12 l 1

)

)

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第七章 平稳时间序列模型预测

§7.2 对AR模型的预测 AR模型的预测首先考虑AR(1)模型

当 l = 1 时，即当前时刻为t的一步预测为 xt (1) = E ( X t +1 X t , X t 1 ,K) = E ([φ X t + ε t +1 ] X t , X t 1 ,K) = φ xt 当 l > 1 ,当前时刻为t的 l 步预测 xt ( l) = E( Xt+l Xt , Xt 1,K = E([φXt+l 1 +εt+l ] Xt , Xt 1,K ) ) =φxt ( l 1) =φl xt上海财经大学 统计与管理学院 8

X t +l = φ X t +l 1 + ε t +l

第七章 平稳时间序列模型预测

对于AR(p)模型 X t + l = φ1 X t + l 1 + L + φ p X t + l p + ε t + l 当 l = 1 时，当前时刻为t的一步预测为 xt (1) =E( Xt+1 Xt , Xt 1,K =E φ Xt +L φpXt+1 p +εt+l Xt , Xt 1,K ) 1 + =φxt +L φpxt ( p 1) + 1

(

)

当 l > p ,当前时刻为t的 l 步预测

xt ( l) =E( Xt+l Xt , Xt 1,K=E φXt+ 1 +L φpXt+ p +εt+l Xt, Xt 1,K ) 1 l + l = φ1 xt ( l 1) + L + φ p xt ( l p )上海财经大学 统计与管理学院

(

)

第七章 平稳时间序列模型预测

例7.1设平稳时间序列{ X t } 来自AR(2)模型55

以及95%的置信区间。 解：=1.1x55 0.3x54 =1.1×1.2 0.3×0.8 =1.08

X t = 1.1X t 1 0.3 X t 2 + ε t x54 = 0.8, x55 =1.2, σ2 =1.21,求 x (1)和 x55 ( 2) 已知 x55 (1) = E( X56 X55, X54,K = E([1.1X55 0.3X54 +ε56] X55, X54,K ) )

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第七章 平稳时间序列模型预测

x55 ( 2) = E( X57 X55, X54,K) = E([1.1X56 0.3X55 +ε57 ] X55, X54,K) =1.1x55 (1) 0.3x55 =1.1×1.08 0.3×1.2 = 0.828

根据第三章，可以计算模型的格林函数为 G0 = 1,G1 = φ1G0 = 1.1 所以 X 56 的95%的置信区间为(-1.076,3.236) X 57 的95%的置信区间为 (-2.296,3.952)上海财经大学 统计与管理学院 11

第七章 平稳时间序列模型预测

例7.2已知某商场月销售额来自AR(2)模型(单位： 万元/月) X t = 10 + 0.6 X t 1 + 0.3 X t 2 + ε t , ε t ~ N ( 0,36 ) 2006年第一季度该商场月销售额分别为： 101万元，96万元，97.2万元。求该商场 2006年第二季度的月销售额的95%的置信 区间。

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第七章 平稳时间序列模型预测

求第二季度的四月、五月、六月的预测值 分别为 x (1) = E ( X X , X , X )3 4 3 2 1

= E ([10 + 0.6 X 3 + 0.3 X 2 + ε 4 ] X 3 , X 2 , X 1 ) = 10 + 0.6 x3 + 0.3 x2

= 97.2 x3 ( 2 ) = E ( X 5 X 3 , X 2 , X 1 )

= E ([10 + 0.6 X 4 + 0.3 X 3 + ε 5 ] X 3 , X 2 , X 1 ) = 10 + 0.6 x3 (1) + 0.3 x3

= 97.432 x3 ( 3) = E ( X 6 X 3 , X 2 , X 1 )

= E ([10 + 0.6 X 5 + 0.3 X 4 + ε 6 ] X 3 , X 2 , X 1 ) = 10 + 0.6 x3 ( 2 ) + 0.3 x3 (1) = 97.5952上海财经大学 统计与管理学院 13

第七章 平稳时间序列模型预测

计算模型的格林函数为 G0 = 1,

G1 = G0φ1 = 0.6 G2 = φ1G1 + φ2G0 = 0.36 + 0.3 = 0.66 四月、五月、六月的月销售额的95%的置信区间 分别为 四月：(85.36,108.88) 五月：(83.72,111.15) 六月：(81.84,113.35)上海财经大学 统计与管理学院 14

第七章 平稳时间序列模型预测

§7.3 MA模型的预测 MA模型的预测对于MA(q)模型 X t = ε t θ1ε t 1 L θ qε t q 我们有X t +l = ε t +l θ1ε t +l 1 L θ qε t +l q X 当预测步长 l ≤ q , t +l 可以分解为

X t +l = ( ε t +l θ1ε t +l 1 L θl 1ε t +1 ) + ( θl ε t L θ qε t +l q )

当预测步长l > q , t +l 可以分解为 X x ( l ) = E ( X X , X , K)t

xt ( l ) = E ( X t +l X t , X t 1 ,K) = θl ε t L θ qε t +l qt +l t t 1

= E ε t +l θ1ε t +l 1 L θ qε t +l q X t , X t 1 ,K 上海财经大学 统计与管理学院

(

) =015

第七章 平稳时间序列模型预测

MA(q)模型预测方差为

(1 + θ12 + L + θl2 1 ) σ 2 var ( et ( l ) ) = 2 2 2 (1 + θ1 + L + θ q ) σ

l≤q l>q

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第七章 平稳时间序列模型预测

例7.3已知某地区每年常住人口数量近似的服从 MA(3)模型(单位：万人) X t = 100 + ε t 0.8ε t 1 + 0.6ε t 2 0.2ε t 3 , σ 2 = 25 2002年—2004年的常住人口数量及1步预 测数量见表年份 2002 2003 2004 人口数量 104 108 105 预测人口数量 110 100 109

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第七章 平稳时间序列模型预测

预测未来5年该地区常住人口数量的95%的 置信区间。 x2004 (1) = 100 0.8ε 2004 + 0.6ε 2003 0.2ε 2002 = 109.2 x2004 ( 2 ) = 100 + 0.6ε 2004 0.2ε 2003 = 96 x2004 ( 3) = 100 0.2ε 2004 = 100.8 x2004 ( 4 ) = 100 x2004 ( 5 ) = 100

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第七章 平稳时间序列模型预测

预测年份 2005 2006 2007 2008 2009

95%的置信区间 (99,119) (83,109) (87,115) (86,114) (86,114)

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第七章 平稳时间序列模型预测

§7.4 ARMA模型的预测 ARMA模型的预测关于ARMA模型 Xt = φ1Xt 1 +L+φp Xt p + εt θ1εt 1 L θqεt q 有Xt+l =φXt+ 1 +L φpXt+ p +εt+l θεt+ 1 L θεt+ q + l q l 1 l 1 l 1Xt+ 1 +L φpXt+ p +(εt+l θεt+ 1 L θl 1εt+1) +( l t L θεt+ q) l ≤q φ + l θε q l l 1 l = + l q l l >q φ 1Xt+ 1 +L φpXt+ p +ε

t+l θεt+ 1 L θεt+ q 1 l l

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第七章 平稳时间序列模型预测

xt ( l ) = E ( X t +l X t , X t 1 ,K)

φ1 xt ( l 1) + L + φ p xt ( l p ) + ( θl ε t L θ qε t +l q ) l ≤ q = l>q φ1 xt ( l 1) + L + φ p xt ( l p )

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