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20 04年第 1期 O

中学数学月刊

7 1

化简得正一Yo——一XO

硼，正。 故点，一

硼所以一硼一薯一 ( 2+ Y ) -一 Y ) - y 1( 2 y 1 2o y,

—— W .

瓦『二干层 a O UkA k M

一一 W.

性质 7 A是黄金椭圆不与坐标轴平 B

行的任意非直径弦，是 AB的中点， 那么k B o一— W. A kM—

性质 8在黄金椭圆中， 内切圆面积内 与外切圆面积 S外之比为 W,焦点圆面积 S 焦与外切圆面积 S外之比为 W . 证明 S ￣_一

证明设 A的坐标为 (,, x, Y)B( - ) ( - ) y, y, 2。

f+婴一1 ( , 1 )“

rz t b一 一

f+一， ( 1 2 )( ) ( ) W( 2一 1+ (2一Yz 2一 1得 ) - a y )一 0.

=

一

S

( )叫掣 ,一外 7 c n一’筹一 J~ a \硼 z一 一

一

抛物线内接三角形三边的斜率关系及其应用朱引弟胡福林 (苏省昆山市震川高级中学 250 ) 江 130定理 1设 P, Pz ), I正+ .

D P,P的率 P, 斜 0尸2一‘

△点图 I坐在\ 0边1 标() P如线所，壶原薹 P直三一

证明连 O。O O 在△0 P, P,P,P, P。

△0。:△0 由定理 1 PP,尸 P中，得

.

f,十是 是。。一k,① 0,

0 I

.0十 0一是②{,足2 2正。 P, 【e o一是 k。 v,③ o+k2 ①十②一③, k+ k一k 2o一得 一是P 2. 一‘

图1

,

尸P的程为Y (≠0, - 方 一是+b b )则÷(一 y

X0

nI

正十足 1 2一是+ x . o 2_

.

,l 7

很显然，定理 2是定理 1的推广.

定理 3设 P, P整理得 2 ( z 2 k _ ) b一 0 e r Y)一 i ( _一 n Y Z.

y

是抛物线 y一 2 x r ( e≠ 0上任意两点， ) o为坐标原点 (图 3,如 ) △0 P P三边所在直线 .一

定理 2设 P, 。

yI

P,抛物线一 P是 2

(≠ 0上任意三 mym )点(如图 2,。 )P的坐标为 (oY)△PP1 z,o, o P2三边所在直线 PP,。 P P, 。 P P的斜率分别为正，,,0 正正贝正十足一D一

D

0 0 PP的斜率 P, P, 1

分别为正，,.正正则+ 1

1一

1一

图3

==

是，

正’

图2

证明设直线 PP的方程为 Y=正 + bb 0, b=一是 (≠ )则+ Y .

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8 1. y一 2 z l ( y— k, x)

中学数学月刊

20年第 1期 04 O

相交的直线 O O 求证： ∥ A A, BB, ABA2 . B2

.

mk— O整理得 b - ) 2 y)+ 2 (-一 m( Y z -.

z

’k, . k是该方程的两根， .

. y

. ),

f足，①足 一+一.

②0

0一

①②去一.÷得+百 11类似于定理 2的推导方法不难将定理 3推广为：I 璺 5 I I 圣6 I

定理 4设 P, 。

证明 由定理 1足一是+足，得 ∞ . y

P1 2抛物线 Y ,是 P一2 (≠ O上任意三 mx m )

足 22一是^B2

+足 B 02足 2,足 0:==

‘足1’ 一

:==

1

足， 02

点(如图 4,的坐标 )P。为 (oY)△PP1 z,o, o P2三边所在直线 PP,。 D

足 ll一是 2B2, . B∥ A B .^B^ . 1 22 1

例 4已知抛物线Y一2 x p>O, p( )0为

坐标原点，过点 0分别作斜率为 k,的直线 k 交抛物线于点 A,且 k m m为非零常 B,,一 ( k图4

PP, 。 P的斜率分别 P为 k,2足则+ k,,l I Yo

数)求证：,直线 A B过定点.

证明设直线 O O, B的斜率分别 A, B Ak‘优’

为足，z足点的坐标为(,。,足，, .)由定理 4 y知

例 1 (93上海高考题)物线 Y 19年抛一一 z与过点 M(, 1的直线相交于 O一 ),

B两点， 0为坐标原点.若直线O A与O B的解设直线的斜率为k则由 ,定理

1 知，

斜率之和为 1求直线，的方程. k k+ k 1所以直线的方程为 Y—— o a。一，z— 1 .

f百去 11+一，① 【百 Y②去 1 1户 一一+. A o将②化为 足1

1

1一

一

Yo一一

足 2

户

k, ’

1

③

例 2过抛物线Y一z 的点 42作倾 (,)斜角互补的两条直线 A A, B, C交抛物线于B , C求直线 B, C的斜率. 解设直线 A A B B,C,C的斜率分别为k,2k则由题设知 k一一 k. 1k,, 2

①② k一得,

k ( Y去， z一 o )一 )一 ,

即一一 y2 2 o o+ y2 y mp o 4 Z m o’ p+— y z

‘

.^一—一‘

.

又定 4丢 1丢 4 0由理得1惫一，一一一‘即 ‘‘ ,++' 一言+,k一 4’一寺 例 3已知抛物线 Y—p Y—q户 x与 x(

直线 A的方程为 Y— Y B。一c一 z,

化简整理得 .一 y. .

+ ) ,

> 0q 0P )过原点作两条与抛物线都，>,≠g,

直线 A B过定点( ,)一 o.