计量经济学7-多元回归中的假设检验和置信区间

时间：2025-07-10

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7.1单个系数的假设检验和置信区间

Chapter 7Hypothesis Tests and Confidence Intervals in Multiple Regression

由中心极限定理， N(0,1)。

β1 E (β1 ) var(β1 )

近似服从标准正态分布

关于β1的假设可以用 t统计量进行检验，且 95%的置信区

多元回归中的假设检验和置信区间

间为{β1± 1.96×SE(β1 )}. 以上结论对β2,…,βk.同样成立

例：The California class size data(1) (2)TestScore= 698.9– 2.28×STR

STATA软件多元回归的标准误差reg testscr str el_pct, r Linear regression Number of obs= 420 F( 2, 417)= 223.82 Prob> F= 0.0000 R-squared= 0.4264 Root MSE= 14.464 -----------------------------------------------------------------------------| Robust testscr| Coef. Std. Err. t P>|t|[95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------str| -1.101296 .4328472 -2.54 0.011 -1.95213 -.2504616 el_pct| -.6497768 .0310318 -20.94 0.000 -.710775 -.5887786 _cons| 686.0322 8.728224 78.60 0.000 668.8754 703.189

(10.4) (0.52)TestScore= 686.0– 1.10×STR– 0.650PctEL

(8.7) (0.43)

(0.031)

(2)式中，STR的系数(-1.10)表示控制住学区内学生英语学习人数比率不变情况下，师生比率变化一个单位，则预计学生测试成绩会反向变动 1.10分。该系数几乎是(1)式中的一半。 (2)式中 STR的 95%双侧置信区间为{–1.10± 1.96×0.43}= (–1.95,–0.26) 对于原假设βSTR= 0的 t统计量 t=–1.10/0.43=–2.54,因此，我们在 5%显著水平下拒绝原假设。

TestScore

= 686.0– 1.10×STR– 0.650 el_pct (8.7) (0.43) (0.031)

Tests of Joint Hypotheses

7.2联合假设的检验令 Expn表示单位为 1000美元的学区内每个学生每年所分摊的预算。 TestScorei=β0+β1STRi+β2Expni+β3PctELi+ ui

一个解决问题的思路一般而言，联合假设可以包括 q个约束。在上面的例子中，q=2,两个约束是β1= 0和β2= 0. 有 q个约束的联合假设检验可以表示为：

原假设：

H0:β1= 0,β2= 0

H 0:β1=β1,0,β 2=β 2,0, H1: H 0不正确

,β j=β j,0, j= 1, 2,

备择假设：H1: H0不成立(即β1≠ 0或者β2≠ 0或者二者都不为零)

一个容易想到的方法是对每一个系数都利用 t统计量进行一次检验。这种方法可靠么。

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联合假设检验：一次检验一个系数的方法可靠么？大样本下β1和β 2服从联合正态分布。联合原假设下，t统计量 t1和 t2服从二维正态分布，其中每个 t统计量的均值为 0,方差为 1。 t统计量不相关情况下，如果采用“一次一个”的方法进行检验，当原假设为真时拒绝原假设的概率是多少？

假设 t1和 t2不相关采用“一次一个”方法，错误地拒绝原假设的概率

为：= PrH 0[|t1|> 1.96 and/or|t2|> 1.96]= PrH 0[|t1|> 1.96,|t2|> 1.96]+ PrH 0[|t1|> 1.96,|t2|≤ 1.96]+ PrH 0[|t1|≤ 1.96,|t2|> 1.96]= PrH 0[|t1|> 1.96]× PrH 0[|t2|> 1.96]

即

β 0β 0 t1= 1且 t2= 2 SE (β1 ) SE (β 2 )如果:|t1|> 1.96 and/or|t2|> 1.96则拒绝 H0:β1=β2= 0

+ PrH 0[|t1|> 1.96]× PrH 0[|t2|≤ 1.96]+ PrH 0[|t1|≤ 1.96]× PrH 0[|t2|> 1.96]= .05×.05+ .05×.95+ .95×.05= .0975= 9.75% (该结果超过了 5%!)

若回归变量相关，则情况要更复杂。“一次一个”步骤的水平取决于回归变量的相关系数取值。因此，“一次一个”检验方法不正确，即原假设下的拒绝率不等于要求的显著水平。两种解决办法一种方法是修改“一次一个”的方法，使它采用不同的临界值以确保其水平等于显著水平。该法称为 Bonferroni方法。该法的缺点是它的势较低(low power),当备择假设实际为真时通常无法拒绝原假设。另一种方法是采用 F统计来进行假设检验。

F分布F分布是一个连续分布，在测试两个样本是否具有相同的方差的时候使用。2 2如果χ m和χ n是相独立的变量，并且是自由度为m和n的χ方型分布， n那么检验统计量Fm=

χ n2 2χm

F统计量F统计量用于检验回归系数的联合假设。当 q=2个约束的 F统计量联合原假设为β1=β1,0和β2=β2,0 F=2 2 1 t1+ t2 2ρ t1,t2 t1t2 1 2 1 ρ t2,t2

The F-statistic testingβ1 andβ2:F=2 2 1 t1+ t2 2ρ t1,t2 t1t2 2 2 1 ρ t1,t2

t1和(或) t2取值大，则 F统计量取值大。一般情况下 t1和 t2,是相关的。t1和 t2的相关性修正了 F统计量。对超过二元以上的回归变量进行联合假设检验时，计算 F统计量的工作量是很大的。

其中ρ t1,t2表示两个 t统计量的相关系数估计值。

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大样本分布下的F统计量如果 t1和 t2相互独立，则ρ t1,t2→ 0;大样本情况下，F统计量可以表示为：2 2 1 t1+ t2 2ρ t1,t2 t1t2 1 2 2 (t1+ t2 ) 2 1 2 1 ρ t2,t2 p

2 distribution with q degrees of freedom (χ q ) is defined to be the

distribution of the sum of q independent squared standard normal random variables.2 In large samples, F is distributed asχ q/q.

2 Selected large-sample critical values ofχ q/q

原假设下 t1和 t2为独立的标准正态随机变量，所以原假设下 F服从 F2,∞分布。