数学期望的计算方法与技巧

数学期望的计算方法与技巧

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第 2卷第 3 2期 20年 5 08月

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VO12 .2 NO. 3

J u n l f n n Un v ri fT c n l g o ra o Hu a i e st o e h o o y y

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数学期望的计算方法与技巧肖文华(娄底职业技术学院电子信息工程系，湖南娄底 4 7 0 10 0)

摘要：利用数学期望的定义、性质、公式、随机变量分布的对称性，以及母函数、特征函数等，探讨了 数学期望的几种计算方法。 关键词：数学期望；定义；性质；公式；微分法中图分类号： 1; 4 O2 G62 1文献标识码： A文章编号：17— 8 32 0 )3 0 9— 3 6 3 9 3 (0 80— 0 8 0

Cac ltn eho n c n q e o ah m aia p cain lu ai gM t dsa dTe h i u sf rM t e tc l Ex e tto

Xio W e h a a n u

( pr n l t nc n fr t n n ier g L u i o a o aT cnc ol e L ui n n 100 hn ) De amet f e r is dI oma o gnei, o d V ct nl eh i C l g, o d a 7 0,C ia t oE c o a n i E n i l a e Hu 4Absr c:So ec lu a ngm eh d o ah m a c l x e tto r ic se ym a i gus fted fnto, au e ta t m ac lt t o sf rm t e t a p cai na ed s u s db k n eo e i n n t r i i e h i i

a df r l f te t a x e tto, es mm er frnd m ra l iti t n, e e aigf n to dc a a trsi n o muao h mai l p c ai n t y ma c e h ty o a o va b ed sr i g n r t u ci na h ceit i bu o n n r cf n t n. u ci o

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Ke r s ywo d:ma e tc l x e tto;d fn t n au e o mu a if r nilme h d h t ma a p ca n e i o;n t r;f r l;d fe e t t o i e i

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数学期望是概率论的重要内容之一，由于随机变

df ,

量的分布形式不同，数学期望的求法也就不同，即使是同种分布，其解法也多种多样，技巧性较强，因此， 探讨数学期望的计算方法和计算技巧有着重要意义。

一l’1 dI . x急 因此

) 1, _k =l

,l

1

( x 1 ) -=—— 0-

1直接利用定义求解 用定义直接求数学期望是求期望最基本的方法， 在求数学期望时，常会用到一些特殊的无穷级数的求

从 E )∑i一 )、 (—p] p而 (= ( p p— I )2 p 1 H[ - 1

2利用数学期望的性质求解 直接求一个随机变量的数学期望比较因难时，将该随机变量分成若干个比较容易求出数学期望的随机变量之和，然后利用数学期望的性质来解决原来那个随机变量的数学期望的求解问题，常用的公式为

和式如∑ e∑土 ( 1,用 公， k =<等利这=、 ):n几 k=0 1一

些公式及它们的各种变形，往往会使计算变得简单。

例 1设 X服从参数为 P的几何分布，求 e x。 ()

解 E∑== p - )=∑f一) ( f∑￣1p p ( p ) ) ( 1。为了求级数 f一 ) ( p,可作如下考虑： 1

E∑/=1E i特是把杂随变分 I1 ∑ ()别常复的机量 I X。解成若干个服从贝努利分布的随机变量之和，即设

由于。

Xk:

1( i

,

X{概为qPql 1 ) i0率。 ::, J 1 + (,,。 1 ; 、 2’:+、一…。 … i:,

利用和函数的可微性对此级数逐项求导，可得收稿日期：20 - 3 2 080—7

易得，若 Y

X,且 X,, i ,…,X相互独立，

作者简介：肖文华 ( 8,女，湖南娄底人，娄底职业技术学院讲师，主要从事高等数学，概率论与数学统计的教学和研究 1 6一) 9

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第3期

肖文华

数学期望的计算方法与技巧

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则ey= ()∑。例 2有一类有奖销售，每 1袋封闭包装的食品中放1张赠券，n张不同赠券为 1,收集齐 1套套可获重奖。试求为集齐Ⅳ张赠券所需购买的食品袋数 x

的数学期望。

去，2去e: 2 e=一 r一等4√。 5= 21 -￣4利用分布的对称性求解 4当分布律或分布密度函数具有对称性时，随机变量取值的集中位置就是对称中心。尤其当随机变量服

解以记从收集到第 1一张之后到收集到第张赠券所需购买的食品袋数，显然，对一切 1,Ⅳ=,…,, 2服从 P: j的几何分布，即

从均匀分布时，其取值的对称中心非常容易得到，由此得到数学期望。

p=) ( p P kl,。{ =1一，=2一 -, Ⅳ从 ()=而E 1 ,…Ⅳc 2,,

例 4若 X,,…,为正的独立随机变量，服 从相同分布，试证明E

(]。专{ k_xn

因 e x) e r十 (+ E )此 (= ( ) E ) (= 1 +Ⅳ

证明x2

由对称性知

’

I N1Ⅳ一

+

+ .- 1 _+一

+1 2

1 I。~nⅣN

一

特别地，为集齐水浒 1 8将的画卡，平均需购 1 8× 0 0 l 18=5 5 7 n0 0 .袋食品。 6

X X 2++…+ X n

XL +X2+…+X,同分布，故

点评利用变量分解技巧，可大大降低题目的难度，很容易得到结论。

H高(意 ( 故[ E南E

)== . .’

3利用“名统计学家公式”求解 佚设 ( y)是连续型随机变量，其概率密度为 x, P( Y),Z X,=g( Y)分段连续函数，若积分 X,为

] o i- 1l,,n=- 2,o -…

而

E

J[g, p,出对敛，随变 (y ( )绝收则机量。 )x。Z=g( y)的数学期望为：

E )Eg,]『eg p, x。 (:[Xy= z ( )二 ( ( )y )x d yd特殊地：

因此，由数学期望的可加性知E

E )e ( )y e (出， (= d=,x ya ) Ey仁eY( )yeY (a。 (= ) P,d= Pyy x yd )这些公式姑且称为“名统计学家公式”佚。

【 f+十 1 十 一。 J咒利用对称性与数学期望的可加性使本题证

点评日日孝

例 3设随机变量 (, X y)服从二元正态分布，其 2+y 21

5利用条

件期望公式求解 利件期公式 E )∑EXYyPYy用条望 (= (/=￣ (=z ) )

密度函数为p ) e (= ,一。,,。, T。< )<+。 …… 此处隐藏：2720字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……