第9章模糊控制系统设计

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9.1模糊控制的数学基础 9.1.1模糊集合与隶属函数1.模糊集合的定义集合是具有某种特定属性的对象的全体，被讨论的全部对象叫论域。普通集合的论域中的任何一事物，要么属于某个集合，要么不属于该集合，不允许有含混不清的说法。然而，现实生活中却充满了模糊事物和模糊概念。如“高个子”、“温度不大高”及“温度上升较快”等，它们的边界并不明确，只能用模糊集合来描述，称这类集合为模糊集合。

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Zadeh在1965年把普遍集合中的元素对集合的隶属度只能取0和1这两个值，推广到可以取区间[0,1]中的任意一个数值。即可以用隶属度定量去描述论域U中的元素符合概念的程度，实现了对普通集合中绝对隶属关系的扩充，从而用隶属函数表示模糊集合，用模糊集合表示模糊概念。论域中的模糊子集A,是以隶属函数为表征的集合。即由映射：µA:U→[0,1]确定论域U的一个模糊子集A。µA称为模糊子集的隶属函数，µA (u)称为对A的隶属度，它表示论域U中的元素u属于其模糊子集A的程度。

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在[0,1]闭区间内可连续取值，隶属度也可简记为A(u)。在给定论域U上，对于不同的映射(即不同的隶属函数)可以确定不同的模糊子集。所有这些子集组成的模糊集合的全体，称为U的模糊幂集，记为F(U),即 F(U)={A|µA:U→[0,1]}

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2.模糊集合的表示方法对于论域U上的模糊集合A,通常采用的表达方式有如下几种。 (1) Zadeh表示方法当U为离散有限域{u1,u2,…,un}时，有

A (u1 ) A (u 2 ) A (u n ) A L u1 u2 un式中 A (u n )并不代表“分式”,而是表示元素ui对于集 un合A的隶属度µA (ui)和元素ui本身的对应关系。

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同样，“+”号也不表示“加法”运算，而是表示在论域 U上，组成模糊集合A的全体元素ui(i=1,2,…,n)间排序与整体间的关系。当U是连续有限域时，可表示为

A u

A (u )u

式中的积分符号也并不表示求积分运算，而是表示连续论域U上的元素u与隶属度µA (u)一一对应关系的总体集合。

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例9.1如图9.1所示的U={a,b,c,d,e},对每一个元素“块”选定一个关于“圆块”A的隶属度，即给定U到[0,1]的一个映射µA (a)=1,µA (b)=0.9,µA (c)=0.4,µA (d)=0.2,µA (e)=0这样便确定一个模糊子集A,它是“圆块”这一模糊概念在论域U上的表现，记为

1 0.9 0.4 0.2 0 A a b c d e

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a

d

c

b

U

e

图9.1论域U中

的元素

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(2)矢量表示法如果单独地将论域U中的元素ui(i=1,2,…,n)所对应的隶属度值µA(ui)按序写成矢量形式来表示模糊子集A,则

A ( A (u1 ), A (u 2 ), L, A (u n ))上式即是矢量表示法。应该注意的是：在矢量表示法中隶属度为0的项不能省略，必须依次列入。上述“圆块”A的矢量表示法为 A=(1,0.9,0.4,0.2,0)

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(3)序偶表示法若将论域U中的元素ui与其对应的隶属度值µA (ui)组成序偶<ui,µA (ui)>,也可将A表示成

A { u1, A (u1 ) , u 2, A (u 2 ) , L, u n, A (u n ) }上述“圆块”A的序偶表示为

A { a,1 , b, 0.9 , c, 0.4 , d, 0.2 , e, 0 }

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(4)函数描述法论域U上的模糊子集A完全可以由隶属函数µA (u)来表征，而隶属函数µA (ui)表示元素ui对A的从属程度大小。可以用隶属函数曲线来表示一个模糊子集A。例如，以年龄做论域，取U=[0,200]。Zadeh给出了“年老O”和“年轻Y”两个模糊集合的隶属函数式，分别为

0 2 1 O (u ) u 50 1 5 1 2 1 Y ( u ) u 25 1 5

0≤ u≤ 50 50 u≤ 200 0≤ u≤ 25 25 u≤ 200

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因此，可以用隶属函数曲线来表示模糊子集O和Y,如图 9.2所示。μ“年轻”老”μY(u)“年μO(u)

1

u 25 50 75

图9.2“年老”和“年轻”隶属函数曲线

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3.模糊集合的运算对于给定论域U上的模糊集合A、B、C,借助于隶属函数定义它们之间的运算如下： (1)相等 u∈U,都有µA(u)=µB(u),则称A与B相等，记作A=B。 (2)补集 u∈U,都有µB(u)=1-µA(u),则称B是A的补集，记作B=AC。 (3)包含 u∈U,都有µA(u)≥µB(u),则称A包含B,记作A B。 (4)并集 u∈U,都有µC(u)=max{µA(u),µB(u)}=µA(u)∨µB(u),则称C是A与B的并集，记作 C=A∪B。

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(5)交集 u∈U,都有µC(u)=min{µA(u),µB(u)}=µA(u)∧µB(u),则称C是A与B的交集，记作 C=A∩B。另外，普通集合中交换律、幂等律、结合律、分配律、吸收律、摩根定律也同样适用于模糊集合的运算。

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9.1.2模糊关系和模糊矩阵1.模糊关系描述元素之间是否相关的数学模型称为关系，描述元素之间相关的程度的数学模型称为模糊关系。为了区别于模糊关系，又称关系为普通关系。显然，模糊关系是普通关系的拓广和发展，而普通关系可视为模糊关系的

特例，模糊关系是模糊数学的重要组成部分。当论域有限时，可用模糊矩阵表示模糊关系。模糊矩阵成为模糊关系的主要运算工具。两个非空集合U与V之间直积

U×V={<u,v>|u∈U,v∈V}

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其中的一个模糊子集R被称为U到V的模糊关系，又称二元模糊关系。其特性可以由下面的隶属函数采描述μR:U×V→[0,1]隶属函数μR(u,v)表示序偶<u,v>的隶属程度，也描述了 (u,v)间具有关系R的量级。特别在论域U=V时，称R为U上的模糊关系。当论域为n个集合Ui(i=1,2,…,n)的直积 U1×U2×…×Un时，它们所对应的模糊关系R则称为n元模糊关系。