随机振动--第1章-1.2

随机振动1.2单自由度线性系统的自由振动1.2.1离散系统的组成 1.2.2振动微分方程 1.2.3自由振动

1.2单自由度线性系统的自由振动构成机械振动系统的基本元素构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。阻尼就是阻碍物体运动的性质。从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。 当物体沿x轴作直线运动时，惯性的大小可用质量来表示。根据牛顿第二定律，作用在物体上的外力F,物体由此产生的加速度和物体质量m之间有下述关系 质量的单位为kg。

d 2x F m 2 dt

典型恢复性元件是弹簧，弹簧产生的恢复力是该元件位移的函数，即Fs=Fs(x)。 当Fs(x)是线性函数时，有 Fs kx (1-2) 比例常数k称为弹簧常数或弹簧的刚度系数。单位为 N/m。 阻尼力Fd反映阻尼的强弱，通常是速度x’的函数，阻尼力可表示为 Fd cx (1-3) 这种阻尼称为粘性阻尼。比例常数c称为粘性阻尼系数，单位N.s/m。 质量、弹簧和阻尼器是构成机械振动系统物理模型的三个基本元件。

1.2单自由度线性系统的自由振动自由度与广义坐标自由度数:完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数。刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动，如飞机、轮船；质点在空间有3个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球；质点在平面有2个自由度：两个方向的移动，加上约束则成为单自由度。

1.2.1离散系统的组成

质量元件无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件平动：转动：

Fm m x

力、质量和加速度的单位分别为N、kg和m/ s 2。力矩、转动惯量和角加速度的单位分别为Nm、kg m 2和rad/ s 2

T m J

弹性元件无质量、不耗能，储存势能的元件

平动：转动：阻尼元件

Fs k x

力、刚度和位移的单位分别为 N、N/ m和m。力矩、扭转刚度和角位移的单位分别为Nm、 Nm/ rad和 rad

Ts kt

无质量、无弹性、线性耗能元件

平动：转动：

Fd c x

力、阻尼系数和速度的单位分别为N、N s/ m和m/s。力矩、扭转阻尼系数和角速度的单位分别为Nm、 Nms/ rad和rad/s

T d c t

等效弹簧刚度斜向布置的弹簧n

ki 1

xe

Fx/ x k cos

2

并联弹簧

ke ki

串联弹簧

1

n

传动系统的等效刚度等效阻尼系数n

k t1 e

ke k t1/ i 2串联系统

i 1

1 ki

并联系统

ce cii 1

n 1 1 ce i 1 ci

传动

系统的等效阻尼等效质量传动系统的等效惯量

ct1e= ct1/ i 2J 1e J 1/ i2

1.2单自由度线性系统的自由振动

1.2.2振动微分方程振动微分方程

m cx kx F (t ) x 方程的解

x(t) x1 (t) x 2 (t)其中， x1 t 为相应齐次方程的解 瞬态响应

x 2 t 为方程的特解

稳态响应或零初始条件的解

1.2单自由度线性系统的自由振动

1.2.3自由振动振动微分方程

m c x k x 0 x设

x (t ) A e s tc 2m

特征方程

m s2 c s k 0s1, 2 n n 2 1阻尼比或阻尼因子

有 s1, 2定义

c2 k 4 m2 m

固有频率

临界阻尼系数

n k n , fn m 2 圆频率,自然频率

c c 2 mk

c cc 2

c mk

特征值

s1, 2 n n 2 1(无阻尼自由振动)

系统对初始扰动的响应讨论 (1)

0

方程的解

x (t ) R cos n t ) (

R

2 x0 ( x0/ n ) 2

x 0 n x0 π arc tan x0 n

arc tan

x0

x0 0 x0 0

特征值

s1, 2 n n 2 1 1

系统对初始扰动的响应讨论 (2) 0

方程的解

x (t ) R eR

n t

cos ( d t ) 2

x 0 n x 0 2 x0 d

x0 n x0 arc tan d x0 x0 n x0 arc tan d x0

x0 0 x0 0

特征值

s1, 2 n n 2 1

系统对初始扰动的响应讨论 (3)

1s2t

方程的解

x (t ) A1 A2 t ex 0) x0 ( x 0) x0 (

x ( t ) e

st

[ x0 ( x0 x0 s ) t

特征值

s1, 2 n n 2 1 1s1t s2t

系统对初始扰动的响应讨论 (4)

方程的解

x (t ) A1 e A2 ex 0) x 0 ( x 0) x 0 ( 1 x (t ) s1 s 2

( x

0

x 0 s 2 ) e s1 t ( x 0 s 1 x 0 ) e s 2 t

1.2单自由度线性系统的振动

1.2.3自由振动

振动特性 无阻尼 :简谐运动 弱阻尼 0< <1:振幅按指数衰减的准周期振动 临界阻尼 =1:衰减运动，在初始扰动下回零时间最短 过阻尼 >1:衰减运动

1.2单自由度线性系统的振动

1.2. 3自由振动

对数衰减率

2 ln x n 1 1

xn

2

4 2 2

小阻尼

2