线性代数

特征值,特征向量与二次型

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一,方阵的特征值与特征向量 1.定义 设A是n阶方阵, 若存在数λ 和非零向量x, 使得Ax = λx, 则称λ为方阵A的特征值 特征值(eigenvalue), x是对应于λ 特征值 对应于 的特征向量( 的特征向量 λ). A - λE 称为A的特征矩阵; |A - λE|称为方阵A的特征多项式;|A - λE| = 0为A的 特征多项式; 特征方程.注意: 特征向量是非零向量 特征方程. 2,特征值的性质和运算, 如λ是A 的特征值, 则 1),kA 的 特征值为k λ; 2), Am的特征值为 λm; 3), A-1的特征值为 λ-1; 4), A*的特征值为 |A|/λ;

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5), f ( A) = 6),A与AT

有相同的特征值; 7),AB与BA有相同的特征值; 8),0是A的特征值====|A|=0; 9),零矩阵有n重特征值0; 10),单位矩阵有n重特征值1; 11),数量矩阵kE有n重特征值k; 12),幂等矩阵(A^2=A )只有特征值0或1; 13),对和矩阵(A^2=E )只有特征值-1或1; 14),k- 幂矩阵(A^k=E )只有特征值1的k次方; 3,设n阶方阵A = (aij)的n个特征值为λ1, λ2, …, λn(重 根按重数计算), 则 (1) λ1+λ2+ …+λn= a11+a22+ …+ann . (2) λ1λ2 …λn= |A|.

i = m

ai Ai 的特征值为 f(λ); ∑

n

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4,特征多项式性质 1),若x是A的对应于λ的特征向量,则对于任意k ≠ 0, kx也是A的对应于λ的特征向量. 2),设λ1, λ2是方阵A的两个不同特征值, p1, p2分别 是与之对应的特征向量,则p1+ p2不是A的特征向量 3),方阵A的对应于λ的特征向量不是唯一的, 而是有 的对应于λ 无限多个. 4),对于方阵A的对应于λ的所有特征向量, 其非零的 的对应于λ 非零的

线性组合 k x + k x ++ k x 1 1 2 2 m m 也是A的对应于λ的特征向量. 的对应于λ5),Theorem 5.2 实对称矩阵的对应于不同特征值的 特征向量是正交的. 6),若λ是A的k重特征值,则齐次线性方程(A - λE)x = 0的基础解系中至多含k个解向量.

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若λ是A的k重特征值,则与λ对应的线性无关的特征向 量最多有k个. 7)若λ是是对称矩阵A的k重特征值,则R (A - λE) = n-r, 则与λ对应的线性无关的特征向量正好有k个. 8),若λ为方阵A的特征值, 则(λ)是(A)的特征值, 且特征向量相同. 9),若n阶可逆方阵A = (aij)的n个特征值为λ1, λ2, …, λn, 则φ(A)的n个特征值为φ(λ1), φ(λ2), …, φ(λn). 10),对应于不同特征值的特征向量线性无关. 11),实对称矩阵的特征值是实数 5,特征值与特征向量的求法 计算方阵A的特征值与特征向量的步骤如下:

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Step1 计算A的特征多项式|A - λE|. Step2 令|A - λE| = 0得出A的所有不同的特征值. Step3 对于每个不同的特征值λ,求出齐次线性方程组 (A - λE)x = 0的所有非零解即得A的对应于λ的全部特 征向量. 更具体地说, 先求出(A - λE)x = 0的一个基础解系ξ1, ξ2,…, ξn-r,其所有非零的线性组合k1ξ1+ k2ξ2+…+ kn-rξn(只要k1, k2, …, kn-r不全为0)就是A的对应于λ的全部 k 0) A r( 特征

向量, 其中R(A) = r.

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二, 相似矩阵 1,设A和B是n阶方阵,若存在可逆矩阵P, 使得 1 相似矩阵, 相似矩阵 P AP = B则称B是A的相似矩阵, A和B相似 相似,记为A ~ B. 相似 2,相似矩阵性质: (1) 任意方阵A,有A ~ A . (自反性) (2) 对于任意方阵A和B,若A ~ B,则B ~ A. (对称性) (3) 对于任意方阵A,B和C,若A ~ B且B ~ C, 则A ~ C. (传递性) (4),若A ~ B,则A-1 ~ B-1,AT ~ BT , Ak ~ Bk ,|A|=|B| (5),若A ~ B, 则|A - λE| = |B - λE|, 相似矩阵有相同 的特征多项式, 进而有相同的特征值 (6),若A ~ B, 则f(A)~f(B), R(A)= R(B)

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(7),若A为对角阵, 则A的特征值为对角元素 (8), 零矩阵,单位矩阵,数量矩阵仅和自己相似 (9),若A ~ B , x是A的对应于特征值λ的特征向量, P-1x是B的对应于特征值λ的特征向量 (10),若A ~ B , a11+a22+ …+ann = b11+b22+ …+bnn = A 的所有特征值之和=B 的所有特征值之和 3,相似对角化 1),给定方阵A,若 A λ P-1AP = ∧,即 则称A能对角化 对角化

A ~ ∧=

1

λ2

λn

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2),Theorem 4.2 设A是n阶方阵, 则A能对角化的充 要条件是A有n个线性无关的特征向量.且若A有n个不 同特征值, 则A与对角阵相似. 3)矩阵对角化步骤: Step1解 |A - λE| = 0得出A的所有不同的特征值 Step2 .对于每个不同的特征值λ,求出齐次线性方程组 (A - λE)x = 0的所有基础解系,如果每个λ的重数等于 基础解系中向量个数,则A可以对角化,否则不可! Step3如 A可以对角化,设所有特征向量为ξ1, ξ2,…, ξn, ξ 则可逆矩阵P=( ξ1, ξ2,…, ξn ),且有P-1AP = ∧ 其主对角元素为全部特征值,且排列顺序与P中列向 量的排列顺序对应

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对称矩阵的对角化 1),如矩阵A满足AT =A, A 为对称矩阵 2),实对称矩阵的特征值为实数 ),实对称矩阵的特征值为实数 3),实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交 ),实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交 4),n阶实对称矩阵A必有n个线性无关的特征向量 5),正交为实数P = ∧= ∧ ),正交为实数