3.3.2

简单的线性规划问题

了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念， 掌握线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方 法解决一些简单的实际问题，提高解决实际问题的能 力.

自学导引1.关于x,y的不等式(组)称为对变量x,y的约束 条件，如果约束条件都是关于x,y的一次不等式，则 称约束条件为________约束条件. 答案：线性 2.把要求最大(小)值的函数z=f(x,y)称为 ________函数. 答案：目标

3.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值 或最小值问题，称为________规划问题.满足线性约 束条件的解(x,y)叫做________解，由所有可行解组成 的集合叫做________域，其中，使目标函数取得最大 值或最小值的可行解叫做最优解. 答案：线性 可行 可行

自主探究线性目标函数z=2x+3y最大值的几何意义是什么？2 z 答案：由 y=- x+ 知，直线经过平面区域的截 3 3 距最大时，目标函数有最大值.

预习测评 x-y≥-1, 1. 设变量x,y满足约束条件 x+y≥1, 3x-y≤3. 函数 z=4x+y 的最大值为 则目标

(

)

A.4

B.11

C.12

D.14

解析：只需画出线性规划区域，如下图.

可知，z=4x+y在A(2,3)处取得最大值11.

答案：B

x≥0, y≥0, 2.约束条件为 x+y≥4, 2x+y≥6

则目标函数 z=4x+5y(

)

A.无最大值有最小值 B.无最小值有最大值 C.无最大值和最小值 D.有最大值和最小值 解析：可行域无上界. 答案：A

3.在如图所示的区域内， z=x+y的最小值为 __________. 解析：当直线x+y-z=0经过原点时，z最小，最 小值为0. 答案：0

4.在如图所示的区域内， z=-x+y的最大值为 ________.

解析：因为z为直线z=-x+y的纵截距，所以要 使z最大，只要纵截距最大就可以，当直线过(0,2)点 时，直线的纵截距最大，最大值为2. 答案：2

要点阐释1.基本概念 (1)约束条件和线性约束条件：变量x,y满足的 一次不等式(组)叫做对变量x,y的约束条件；如果约 束条件都是关于x,y的一次不等式，那么又称为线 性约束条件.线性约束条件除了用一次不等式表示 外，有时也用一次方程表示. (2)目标函数和线性目标函数：求最大值或最小 值所涉及的变量x,y的解析式，叫目标函数；如果 这个解析式是关于x,y的一次解析式，那么又称为 线性目标函数.

(3)线性规划问题：一般地，在线性约束条件下， 求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线 性规划问题. (4)可行解与可行域：满足线性约束条件的解(x, y)叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行 域. (5)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的 可行解

,称为这个问题的最优解.

2.解决线性规划问题的一般方法 解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步 骤如下： (1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确 翻译为不等式组； (2)确定线性目标函数； (3)画出可行域，注意作图准确； (4)利用线性目标函数(直线)求出最优解； (5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的 最优解(调整时，注意抓住“整数解”这一关键点).

说明：求线性目标函数在约束条件下的最值问 题的求解步骤是： ①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的 平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意 一条直线l. ②平移——将直线l平行移动，以确定最优解所 对应的点的位置. ③求值——解有关的方程组求出最优解的坐标， 再代入目标函数，求出目标函数的最值.