《自控原理总复习》

第二章

线性系统的数学模型

一.求电路系统的传递函数 无源网络：由无源元件组成的电气网络。 不含电源的器件：R、L、C等。 有源网络：包含有源元件的电气网络。 含电源的器件：运算放大器。 列微分方程法 复阻抗法

电气系统

列写电气网络的微分方程要用到以下规律：KCL电流定律： KVL电压定律：

i 0 u 0diL uL L dt duC iC C dt

元件的伏安关系： u R RiR

理想运算放大器：虚短、虚断

作业讲解2-1.试求图示电路的微分方程和传递函数。+ ui L

+R

C

i

L + uL R C +

+ uo -

+

ui-

uo-

ui u L uodi uL L dtuo duo i C R dtui L

du d uo C o dt R dt

uo

d 2 u o L duo uo ui 整理得：LC 2 R dt dt

d 2 u o L duo LC uo ui 2 R dt dt

对微分方程两边进行拉氏变换L LCs U o ( s) sU o ( s) U o ( s) U i ( s) R2

U o (s) G( s) U i (s)

1 L LCs s 1 R2

R LCRs 2 Ls R

R1 +

R2 + C1 C2 +

R1

R2

+

C1

+

+ C2

ui-

u o ui-

u1-

uo-

duo du1 ui C1 C2 R1 u1 dt dt duo u1 C 2 R2 u o dt d duo duo duo u i C1 C 2 R2 u o C 2 R1 C 2 dt R2 u o dt dt dt d 2uo duo duo R1 R2 C1C 2 (C1 C 2 ) R1 C 2 R2 uo 2 dt dt dt

整理得：d 2uo duo R1 R2 C1C 2 (C1 R1 C 2 R1 C 2 R2 ) uo ui 2 dt dt

对微分方程两边进行拉氏变换

C C R R s1 2 1 2

2

(C1 R1 C 2 R1 C 2 R2 ) s 1 U o ( s) U i ( s)

U o ( s) 1 G( s) U i ( s) C1C 2 R1 R2 s 2 (C1 R1 C 2 R1 C 2 R2 ) s 1

L + ui + C1 + u1 -

R + C2 uo -

duo d du1 ui L C1 C2 u1 dt dt dt duo u1 C2 R uo dtd 3uo d 2uo duo LRC1C2 3 L(C1 C2 ) 2 RC2 u o ui dt dt dt

用运算阻抗(复阻抗)法求电路的传递函数 运算电路 R→R L→SL1 C→ SC

U R ( s) R I R ( s) U L ( s) SL I L ( s)

1 U C ( s) I C ( s) sC节点

i(t ) I ( s) u(t ) U (s)

I (s ) 0

回路

U (s) 0

作业讲解2-5. 求如图所示运放电路的传递函数。 (c)ui

1 SC1

C1

R2

C2

1 SC2

I (s )R1 +

uo

U i (s )

U o (s)

1 R1 C1s U i (s) I ( s) 1 U o ( s) C1C2 R1 R2 s 2 (C2 R2 C1 R1 ) s 1 R1 G( s) C1s U i ( s) C2 R1s 1 U o ( s) ( R2 ) I (s) sC2

二.典型环节的传递函数典型环节 比例环节 惯性环节 传递函数

K1 Ts 1

积分环节纯微分环节 一阶微分环节 二阶振荡环节

1 s

sTs 11 T 2 s 2 2 Ts 1

三.已知系统各环节微分方程组画方框图

注意(1)方框图形式要规范，前向通路、反馈通路要清晰 明确，左边为系统总输入R(s),右边为

输出C(s)。 (2)方框图中的各个环节都必须是典型环节。

(3)若遵循前一个环节的输出为下一个环节的输入， 则容易画图。

例题 系统的微分方程为：x1 (t ) r (t ) c (t ) dx2 (t ) T1 K1 x1 (t ) x2 (t ) dt x3 (t ) x2 (t ) K 3c (t ) dc (t ) T2 c (t ) K 2 x3 (t ) dt

① ② ③ ④

式中T1、T2、K1、K2、K3均为正的常数，系统的输入 为r(t),输出为c(t),画出系统的传递函数方框图。

①

x1 (t ) r (t ) c(t )R(S) X1(S)

X 1 ( s) R( s) C ( s)

C(S)

②

dx2 (t ) T1 K1 x1 (t ) x2 (t ) dt

T1sX 2 ( s) K1 X 1 ( s) X 2 ( s) (T1s 1) X 2 ( s) K1 X 1 ( s)X1(S) K1 X 2 ( s) X 1 ( s) T1s 1 K1 T1s+1 X2(S)

③

x3 (t ) x2 (t ) K 3c(t )

X2(S)

X3(S)

X 3 ( s) X 2 ( s) K 3C ( s)dc(t ) T2 c(t ) K 2 x3 (t ) dt

K3C(S)

④

T2 sC ( s) C ( s) K 2 X 3 ( s)K2 C (s) X 3 ( s) T2 s 1X3(S) K2 T2s+1 C(S)

R(S)

X1(S)

X1(S)

K1 T1s+1

X2(S)

C(S)

X2(S)

X3(S)

X3(S)

K2 T2s+1

C(S)

K3C(S)R(S) X1(S) K1 T1s+1 X2(S)

K2

C(S)

-

-

T2s+1 K3