定陶县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

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班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知点A （0，1），B （3，2

），向量

=（﹣4，﹣3

），则向量=（ ） A ．（﹣7，﹣4） B ．（7，4） C ．（﹣1，4） D ．（1，4）

2． 已知集合{

}{2|5,x |y ,A y y x B A B ==-+==

=（ ） A ．[)1,+∞ B ．[]1,3 C ．(]3,5 D ．[]3,5 【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．

3． 在等差数列{a n }中，a 1=2，a 3+a 5=8，则a 7=（ ）

A ．3

B ．6

C ．7

D ．8

4． 已知A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且

|

|=

，则

•=（ ） A ．﹣1 B ．1

C

．﹣ D

．

5． 已知是虚数单位，若复数22ai Z i

+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ） A ．-2 B ．1 C ．2 D ．3 6． 已知

||=3，

||=1

，

与

的夹角为

，那么

|﹣

4|等于（ ） A ．2 B

． C

． D ．13

7． 如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）

A ．4

B ．5 C

． D

．

8． 数列中，若，，则这个数列的第10项（ ） A ．19 B ．21 C ． D ．

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第 2 页，共 20 页 9． 已知函数f （x ）

=

若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）

A ．（0，1）

B ．（1，+∞）

C ．（﹣1，0）

D ．（﹣∞，﹣1） 10．设a ＞0，b ＞0，若

是5a 与5b 的等比中项，则+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．

11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．16163π-

B ．32163π-

C ．1683π-

D ．3283

π-

【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．

12．已知e 是自然对数的底数，函数f （x ）=e x +x ﹣2的零点为a ，函数g （x ）=lnx+x ﹣2的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ）

A ．a ＜1＜b

B ．a ＜b ＜1

C ．1＜a ＜b

D ．b ＜1＜a

二、填空题

13

．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i ＜m 中的整数m 的值

是 ．

14．已知三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3=AB ，

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3 页，共 20 页 3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为 .

15．已知变量x ，y ，满足，则z=log 4（2x+y+4）的最大值为

．

16．如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和

是 ．

17． 如图，P 是直线x ＋y －5＝0上的动点，过P 作圆C ：x 2＋y 2

－2x ＋4y －4＝0的两切线、切点分别为A 、B ，当四边形P ACB 的周长最小时，△ABC 的面积为________．

18．下列命题：

①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数；

②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点；

③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，S n 最大值为S 5；

④在△ABC 中，A ＞B 的充要条件是cos2A ＜cos2B ；

⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强．

其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．

三、解答题

19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=2，AB=BC ，且AB ⊥BC ，O 为AC 中点．

（Ⅰ）证明：A 1O ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）求直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值；

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第 4 页，共 20 页 （Ⅲ）在BC 1上是否存在一点E ，使得OE ∥平面A 1AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置．

20．如图，已知椭圆

C ，点B 坐标为（0，﹣1），过点B 的直线与椭圆C 的另外一个交点为A ，且线段AB 的中点E 在直线y=x 上．

（1）求直线AB 的方程；

（2）若点P 为椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线y=x 于点M ，N ，直线BM 交椭圆C 于另外一点Q ．

①证明：OM •ON 为定值；

②证明：A 、Q 、N 三点共线．

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21．在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点．

（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；

（Ⅱ）求证：BD ⊥AE ．

22

．已知向量=

（，1

），=（

cos

，），记f （x ）

=

． （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；

（2）将函数y=f （x

）的图象向右平移

个单位得到y=g （x ）的图象，讨论函数y=g （x ）﹣k

在的零点个数．

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23．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1 中，AA 1=AB=AC=1，E ，F 分别是CC 1、BC 的中点，AE ⊥ A 1B 1，D 为棱A 1B 1上的点．

（1）证明：DF ⊥AE ；

（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为

？若存在，说明点D 的位置，

若不存在，说明理由．

24．（本小题满分12分）若二次函数()()2

0f x ax bx c a =++≠满足()()+12f x f x x -=, 且()01f =.

（1）求()f x 的解析式；

（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．

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第 8 页，共 20 页 定陶县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：由已知点A （0，1），B （3，2

），得到

=（3，1

），向量=（﹣4，﹣3），

则向量

==（﹣7，﹣4）；

故答案为：A ．

【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．

2． 【答案】D

【解析】{

}{{}|5,||3,A y y B x y x x =≤===≥[]3,5A B ∴=，故选D. 3． 【答案】B

【解析】解：∵在等差数列{a n }中a 1=2，a 3+a 5=8，

∴2a 4=a 3+a 5=8，解得a 4=4，

∴公差

d=

=，

∴a 7=a 1+6d=2+4=6

故选：B ．

4． 【答案】B

【解析】解：由A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且

|

|=， 即有

|

|2

+||2

=||2， 可得△OAB 为等腰直角三角形，

则

，的夹角为45°，

即有

•

=||•

||•cos45°=1

×

×=1． 故选：B ．

【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．

5． 【答案】A

【解析】 试题分析：()()()()2224(22)2225ai i ai a a i i i i +-+++-==++-，对应点在第四象限，故40220a a +>⎧⎨-<⎩，A 选项正确. 考点：复数运算．

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6． 【答案】C 【解析】解：

||=3，

||=1

，

与

的夹角为，

可得

=|

|||cos

＜

，＞=3×1

×

=，

即有

|﹣

4

|=

=

=

．

故选：C ．

【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．

7． 【答案】D 【解析】

试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图,,AD AB AG 相互垂直，面AEFG ⊥面

,//,3,1ABCDE BC AE AB AD AG DE ====,

根据几何体的性质得：AC GC ==

GE ===

4,BG AD EF CE ====

所以最长为GC =

考点：几何体的三视图及几何体的结构特征． 8． 【答案】C

【解析】 因为

，所以

，所以数列构成以为首项，2为公差的等差数

列，通项公式为，所以

，所以

，故选C

答案：C

9． 【答案】A

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第 10 页，共 20 页 【解析】解：函数f （x ）

=的图象如下图所示：

由图可得：当k ∈（0，1）时，y=f （x ）与y=k 的图象有两个交点，

即方程f （x ）=k 有两个不同的实根，

故选：A

10．【答案】B

【解析】解：∵

是5a 与5b 的等比中项， ∴5a •5b =（）2=5，

即5a+b =5，

则a+b=1，

则+=（+）（a+b ）=1+1++≥2+2=2+2=4， 当且仅当=，即a=b=时，取等号，

即+的最小值为4，

故选：B

【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．

11．【答案】D

【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为21132244428233

V =

π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-，故选D ． 12．【答案】A

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【解析】解：由f （x ）=e x +x ﹣2=0得e x =2﹣x ，

由g （x ）=lnx+x ﹣2=0得lnx=2﹣x ，

作出计算y=e x ，y=lnx ，y=2﹣x 的图象如图：

∵函数f （x ）=e x +x ﹣2的零点为a ，函数g （x ）=lnx+x ﹣2的零点为b ， ∴y=e x 与y=2﹣x 的交点的横坐标为a ，y=lnx 与y=2﹣x 交点的横坐标为b ，

由图象知a ＜1＜b ， 故选：A ．

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．

二、填空题

13．【答案】 6 ．

【解析】解：第一次循环：

S=0+

=，i=1+1=2；

第二次循环：

S=

+

=，i=2+1=3； 第三次循环：

S=

+

=，i=3+1=4； 第四次循环：

S=

+

=，i=4+1=5；

第五次循环：

S=

+

=，i=5+1=6；输出S ，不满足判断框中的条件；

∴判断框中的条件为i ＜6？

故答案为：6．

【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题

14．【答案】

16

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第 12 页，共 20 页 【解析】如图所示，∵222AB AC BC +=，∴CAB ∠为直角，即过△ABC 的小圆面的圆心为BC 的中点O '，

ABC △和DBC △所在的平面互相垂直，则球心O 在过DBC △的圆面上，即DBC △的外接圆为球大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2R =，球的表面积为24π16πS R ==

15．【答案】

【解析】解：作

的可行域如图：

易知可行域为一个三角形，

验证知在点A （1，2）时，

z 1=2x+y+4取得最大值8，

∴z=log 4（2x+y+4）最大是， 故答案为：．

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

16．【答案】 64 ．

【解析】解：由图可知甲的得分共有9个，中位数为28

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第 13 页，共 20 页 ∴甲的中位数为28

乙的得分共有9个，中位数为36

∴乙的中位数为36

则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64

故答案为：64．

【点评】求中位数的关键是根据定义仔细分析．另外茎叶图的茎是高位，叶是低位，这一点一定要注意．

17．【答案】

【解析】解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的标准方程为（x －1）2＋（y ＋2）2＝9.

圆心C （1，－2），半径为3，连接PC ，

∴四边形P ACB 的周长为2（P A ＋AC ）

＝2PC 2－AC 2＋2AC ＝2PC 2－9＋6.

当PC 最小时，四边形P ACB 的周长最小．

此时PC ⊥l .

∴直线PC 的斜率为1，即x －y －3＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0x －y －3＝0

，解得点P 的坐标为（4，1）， 由于圆C 的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线P A ，PB 分别与x 轴平行和y 轴平行，

即∠ACB ＝90°，

∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×3×3＝92

. 即△ABC 的面积为92

. 答案：92

18．【答案】 ②③④⑤

【解析】解：①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数，不正确，取

x=

，

，但是

，，因此不是单调递增函数；

②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点，正确；

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③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，

∴

=5（a 6+a 5）＞0

，

=11a 6＜0，

∴a 5+a 6＞0，a 6＜0，∴a 5＞0．因此S n 最大值为S 5，正确；

④在△ABC 中，cos2A ﹣cos2B=﹣2sin （A+B ）sin （A ﹣B ）=2sin （A+B ）sin （B ﹣A ）＜0⇔A ＞B ，因此正确；

⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确． 其中正确命题的序号是 ②③④⑤．

【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：因为A 1A=A 1C ，且O 为AC 的中点，

所以A 1O ⊥AC ．

又由题意可知，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ， 交线为AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， 所以A 1O ⊥平面ABC ．

（Ⅱ）如图，以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．

由题意可知，A 1A=A 1C=AC=2，又AB=BC ，AB ⊥BC ，

∴，

所以得：

则有：．

设平面AA 1B 的一个法向量为n=（x ，y ，z

），则有，

令y=1

，得

所以

．

．

因为直线A 1C 与平面A 1AB 所成角θ和向量n

与

所成锐角互余，所以．

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（Ⅲ

）设，

即

，得

所以

，得，

令OE ∥平面A 1AB

，得，

即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得

，

即存在这样的点E ，E 为BC 1的中点．

【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

20．【答案】

【解析】（1）解：设点E （t ，t ），∵B （0，﹣1），∴A （2t ，2t+1）， ∵点A 在椭圆C 上，

∴

，

整理得：6t 2

+4t=0，解得t=

﹣

或t=0（舍去）， ∴E

（﹣

，﹣），A

（﹣

，﹣

），

∴直线AB 的方程为：x+2y+2=0； （2）证明：设P （x 0，y 0

），则

，

①直线AP 方程为：

y+

=（

x+），

联立直线AP 与直线y=x 的方程，解得：x M

=

，

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第 16 页，共 20 页 直线BP 的方程为：

y+1=，

联立直线BP 与直线y=x 的方程，解得：x N

=， ∴OM •

ON=|x M

||x N |

=2•

||•

||

=

||

=

|

|

=

||

=．

②设直线MB 的方程为：y=kx ﹣1（其中

k=

=），

联立，整理得：（1+2k 2）x 2﹣4kx=0， ∴x Q

=，y Q

=，

∴k AN

=

==1

﹣，k AQ

==1

﹣， 要证A 、Q 、N 三点共线，只需证k AN =k AQ ，即3x N +4=2k+2， 将

k=代入，即证：x M •x N

=，

由①的证明过程可知：|x M |•|x N

|=，

而x M 与x N 同号，∴x M •x N

=，

即A 、Q 、N 三点共线．