欢迎评价

欢迎评价

2.2

平面向量的线性运算

2.2.1 向量加法运算及其几何意义

欢迎评价

问题提出

1.向量、平行向量、相等向量的含义分 别是什么？

2.用有向线段表示向量，向量的大小和 方向是如何反映的？什么叫零向量和单 位向量？

欢迎评价

3.两个实数可以相加，从而给数赋予了 新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面 上，那是没有多大意义的.我们希望两个 向量也能相加，拓展向量的数学意义， 提升向量的理论价值，这就需要建立相 关的原理和法则.

欢迎评价

欢迎评价

探究一：向量加法的几何运算法则思考1:如图，某人从点A到点B,再从点B按 原方向到点C,则两次位移的和可用哪个向量 表示？由此可得什么结论？

AB BC AC

A

B

C

思考2:如图，某人从点A到点B,再从点B按 反方向到点C,则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？AB BC ACC A B

欢迎评价

思考3:如图，某人从点A到点B,再从点 B改变方向到点C,则两次位移的和可用 哪个向量表示？由此可得什么结论？C

AB BC AC

A

B

欢迎评价

思考4:上述分析表明，两个向量可以相加， 并且两个向量的和还是一个向量.一般地， 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.上 述求两个向量和的方法，称为向量加法的三 角形法则.对于下列两个向量a与b,如何用 三角形法则求其和向量？a a+ b C

ba B

b

A

欢迎评价

思考5:图1表示橡皮条在两个力F1和F2 的作用下，沿MC方向伸长了EO;图2表示 橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向 伸长了相同长度.从力学的观点分析，力 F与F1、F2之间的关系如何？F1 M 图1 M EO C F2 F E O 图2 F1 F

F2

F=F1+F2

欢迎评价

uuu r 思考6:人在河中游泳，人的游速为OA uu u r 水流速度为 O ,那么人在水中的实际 B uuu r uuu r uuu r 速度 OC 与 OA 、O B 之间的关系如何？O

B

A

C

欢迎评价

思考7:上述求两个向量和的方法，称为 向量加法的平行四边形法则.对于下列两 个向量a与b,如何用平行四边形法则求 其和向量？aB C

b

a+ bO

b

a

A

欢迎评价

思考8:用三角形法则和平行四边形法则 求作两个向量的和向量，其作图特点分 别如何？三角形法则：首尾相接连端点； 平行四边形法则：起点相同连对角.

欢迎评价

探究二：向量加法的代数运算性质规定：a+0=0+a=a, 思考2:若向量a与b为相反向量，则a+b 等于什么？反之成立吗？

思考1:零向量0与任一向量a可以相加吗？

a与b 为相反向量

a+b=0

思考3:若向量a与b同向，则向量a+b的 方向如何？若向量a与b反向，则向量a+ b的方向如何？

欢迎评价

思考4:考察下列各图，|a+b|与|a|+ |b|的大小关系如何？|a+b|与|a|-|b|的 大小关系如何？ aCa

a+ b A

b

ba+b

baBa+b

|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a与b同向时取 等号

; |a+b|≥||a|-|b||,当且仅当a与b反向时取 等号.

欢迎评价

思考5:实数的加法运算满足交换律，即 对任意a,b∈R,都有a+b=b+a.那么向 量的加法也满足交换律吗？如何检验？Ba a+ b a C

bO

bA

uuu r a+b = OA + uuu r b+a = OB +

uuu r uuu r AC = OC uuu r uuu r BC = OC

欢迎评价

思考6:实数的加法运算满足结合律， 即对任意a,b,c∈R,都有(a+b)+ c=a+(b+c).那么向量的加法也满足 C 结合律吗？如何检验？a+b+c

cB

O

a+b

uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r = (OA + A B ) + BC = OB + BC = OC

(a+b)+c

aA

b

uuu r uuu r uuu r = OA + (A B + BC ) = OA + A C = OC

a+( b + c ) uuu r uuu r uuu r