专业年级：电子科学与技术

一、单项选择题（15分，每小题3分）

z2

,z 0

1． 设f z z，则f z 的连续点集合为（ ）。

0,z 0

（A）单连通区域 （B）多连通区域 （C）开集非区域 （D）闭集非闭区域 2． 设f(z) u(x,y) iv(x,y)，那么u(x,y)与v(x,y)在点 x0,y0 可微是f z 在点

。 z0 x0 iy0可微的（ ）

A 充分但非必要条件

C 充分必要条件 B 必要但非充分条件

D 既非充分也非必要条件

3． 下列命题中，不正确的是（ ）。

, 0 A 如果无穷远点 是f z 的可去奇点,那么Res f z

Dz,则 f 在z B 若f z 在区域内任一点0的邻域内展开成泰勒级数

C幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数. ez i

(z) 映射为单位圆 1. D 函数 z将带形域0 Im

e i

4． 设c是z 1 i t，t从1到2的线段，则 A

。 argzdz（ ）

c

内解析D.

4

B

4

i

C 1 i

4

z 0

D 1 i

5． 设f z 在0 z 1内解析且limzf z 1，那么Resf z ,0 （ ）。 A 2 i

B 2

i

C1 D

1

二、填空题（15分，每空3分） 1．Ln 1 i 的主值为。

2．函数f(z)=zRe z +Im z 仅在点z= 处可导。

z n 2

3．罗朗级数的 1 11 收敛域为 。

z 3 n 1 3 n 1

1

4． 映射w ，将圆域z 1 1映射为 。

z

n

n

n

5．

1

coszz 1

2

2

三．(10分)求解析函数f(z)=u+iv，已知u x y xy,f(i) 1 i。四．(20分)求下列积分的值 1．

z 4

z z 1

2

ez

2

dz

2．

xsinx

dx a 0 2

x a

五．(15分)若函数 z 在点z0解析，试分析在下列情形： 1．z0为函数f z 的m阶零点； 2．z0为函数f z 的m阶极点； 求Res z

f z

,z0 。 fz

六．（15分）写出函数

e

的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。 cosz

z2

七．（10分）求函数f t 1 tu t 3 t sin2t傅氏变换。

江西科技师范学院卷（B）

2007--2008学年第二学期 时间110分钟

复变函数与积分变换 课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：电子科学与技术 总分100分，占总评成绩70 %

注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 三、单项选择题（15分，每小题3分） 1．A。2． B 。3． A。4． C。5．C。 四、填空题（15分，每空3分） 1

．

4

i。2． i 。3． 2 z 3 3。4． 半平面Re w

1

R。5．0。 2

三．(10分)解:容易验证u是全平面的调和函数。利用C-R条件，先求出v的两个偏导数。

v u v u 2y x, 2x y x y y x则v(x,y)

x,y

0,0

2y x dx 2x y dy C

y0

x dx 2x y dy C11

x2 2xy y2 C

22

四．(20分)求下列积分的值 1．2 3 e i

2．这里m=2，n=1，m-n=1，R(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的

x

xixiz

edx 2πiRes[R(z)e,ai]22

x a

2 ilim

因此

zee

2πi πie a

z iaz ia2

iz a

xsinx1 x1 aix

dx Im(edx) e.x2 a22 x2 a22

五．(15分)

解:函数 z 在点z0解析等价于在z0的一个邻域内

z z z0 z z0

n z0

n!

z z0

n

m

(1)z0为f z 的m阶零点等价于在z0的一个邻域内f z z z0 z 其中 z 在点z0解析, z 0,于是在z0的去心领域

f z m z z m z0 z n 1 m z

z z m z z0 z

fzz z0 zz z0n! z n 1 f z 由此可知,Res z ,z0 m z0

fz f z

2与上面类似Res z,z0 m z0 fz

六．

ez 函数距原点最近的奇点 ,其距离就是函数在幂级数展开式的收敛半径,

cosz2

2 11

即R=,收敛范围为z .由ez 1 z2 z4 z2n z ,

222!n!

2

1 z2n z 及幂级数的除法,可设11

cosz 1 z2 z4 2!4!2n!

ez

c0 c1z c2z2 z cosz2

注意到ez与cosz均为偶函数,其展开式中不含z2n 1项,可知c1 c3 0

n

1 1111242n2242n

于是1 z z z c0 c2z 1 z z z

2!n!4!2n! 2!

2

2

n

329

比较同次系数得c0 1,c2 ,c4 ,

224ez3294

故 1 z2 z z cosz2242

七．（10分）

证明：F[1] 2 F[tu(t)]

2

1

2

i ( )

F[ 3 t ] e 3 i F[sin2t] i 2 2

从而F[f t ]

1

2

e 3 i 2 i ( ) 2 2

应用数理统计 试题 第 4 页 共 4 页