【G2高二2016年3月竞赛题】-2016希望杯

第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛

高二 第2试试题

（时间：2016年4月10日9:00~11:00）

一. 选择题（每小题4分，共40分）

1. 数列{an}的通项公式是an ( 1)n(2n 1)，则它的前2016项之和是（ ）

A. 2016 B. 1008 C. 2016 D. 4032

2. The symmetry point of point (5,1) about the line y 2x 1 is（ ）

A. ( 3,5) B. ( 5,1) C. ( 1,5) D. (3, 5)

3.

函数y A. 4 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 ）

4. 已知正实数x,y满足xy x y 2 0，则x y的取值范围是（ ）

A. ( , 2

B. 2,2)

C. 2,2]

D. 2, )

5. 已知a是整数，且 6 a 6，若51 a能被13整除，则a （ ）

A. 3 B. 1 C. 2 D. 6

6. 若点P的坐标(x,y)满足等式(x y) x y 2|x|y 1，则点P的个数是（ ）

A. 0 B. 2 C. 4 D. 6

7. △ABC中，BC a，AC b，AB c，则“sin

的充要条件是（ ）

A. a b 2c B. b c 2a C. a c 2b D. ac b

8. 已知直线l:y k(x 2016)和双曲线C:x2 y2 1，若直线l与双曲线C的右支有且 只有一个交点，则参数k的取值范围是（ ）

A. ( 1,1) B. [ 1,1] C. ( ,1] D. [1, )

9. 设f(n)是正整数n（十进制）的各个数位上的数字平方之和，比如f(123) 12 22 32 221622222ABCB sin2 sin2 cos2” 2222 14，记f1(n) f(n)，fk 1(n) f(fk(n))，k 1,2,3, ，则f2015(2016)等于（ ）

A. 20 B. 42 C. 89 D. 145

10. 如图，某圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O是

底面中心，M是SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），

若AM MP，则P点形成的轨迹的长度为（ ）

A.

B. 3 C. 3 D. 22

二. 填空题（每小题4分，共40分）

11. 在等差数列{an}中，a50 100，则数列{an}的前99项的和等于12. 函数y 4x 1的值域是 2x 3

13. 函数y |sin2x| |cos2x|的最小正周期是12，则 的最小值是xy

k2

15. 设[x]表示不超过实数x的最大整数，集合A {n|n [],1 k 2016,k N}， 2015

则A中元素的个数是 14. 已知x,y

都是正数，且x 2y 22

16. 函数y 2sin(x 3cos(x 在[0,2 ]上的单调递减区间是36

17. △ABC中，AC 4，BC 3， C 30 ，E、F分别在边AC、BC上，若EF平 分△ABC的面积，则EF的最小值是

18. The equation of the circle that pass coordinate origin and two intersected points of x2 y2 4 and x2 y2 2x 4y 1 0 is

19. 设f(x) 3cosx 4sinx 2，若实数a,b,c使af(x) bf(x c) 5对所有实数x恒 成立，则(a b)cosc

20. 如图，已知m,n是异面直线，点A,B m，AB 6，

点C,D n，CD 4，若M,N分别是AC,BD的中点，

MN m与n所成角的余弦值是

三. 解答题（共10+15+15=40分，要求写出推算过程）

21. △ABC中，AB 6，AC 10，O是△ABC的外心，AO xAB yAC，且

x 2y 1，求△ABC的面积；

22. 设 函数）

23. 抛物线S的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若直线x y 1 0与抛物线相交于 ，且 ，求sin sin cos 的最大值；（结果不含三角122A、B

两点，并且|AB|

（1）求抛物线S的方程； ； 11

（2）抛物线S上是否存在点C，使得△ABC是等边三角形，若存在，求出点C的坐标， 若不存在，请说明理由；

参考答案

一. 选择题

1. C 2. A 3. B 4. B 5. B 6. B 7. C 8. B 9. C 10. B

二. 填空题

11. 9900 12. [ ,1] 13.

16. [0,

19.

三. 解答题

21. 24

或；

22. 当

43

14. 15. 1513 45 11 [,2 ]

17. 3 18. 5x2 5y2 8x 16y 0 6655 20. 212 1 1 1时，最大值为cos sin 1)； 12212468

42510x；（2）C(,； 11111123.（1）y2