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第十四章 动能定理 力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例

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引

言

前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。

在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功 与动能。

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一、功的概念1、常力的功 15.1 设物体在常力 F 作用下沿直 线走过路程S,如图，则力所作的 力 功W定义为M1

s

F

M2

F

W F cos s F s

的 功是代数量。它表示力在一段路程上的累积作用效应，因此功为累积量。在国际单位制中，功的单位为：J 功 (焦耳),1J 1N m。 M M2 ds 2、变力的功 M dr 设质点M在变力 F 的作用下沿曲 F 线运动，如图。力 F 在微小弧段上所 M1 作的功称为力的元功，记为 W ,于是 有

W F cos ds F ds

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一、功的概念15.1

力 上式称为自然法表示的功的计算公式。

于是在整个路程中，力 F 所作的功为 M2 M2 W12 F cos ds F dsM1 M1

ds M dr

M M2

设对应微小弧段 ds的位移为dr ,则 M 1 的 力的元功的表达式为 W F dr M2 功 力 F 从 M 1到 M 2本所作的功为 W F dr 12

F

M1

上式称为矢径法表示的功的计算公式。 设：F Xi Yj Zk dr dxi dyj dzk 则 W Xdx Ydy Zdz

W12

M2

M1

Xdx Ydy Zdz

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一、功的概念上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为 15.1 功的解析表达式。 3、合力的功 力 若在质点上作用有 n 个力，其合力为 R Fi , 则当质点从 M 1运动到 M 2时，合力 R 所作的功为

的 功

M2 W12 R dr ( F1 F2 Fn ) dr M1 M1 M2 M2 M2 F1 dr F2 dr Fn drM2

W1 W2 Wn Wi

M1

M1

M1

即：汇交力系的合力在任一路程中所作的功等于各 分力在同一路程中所作功的代数和。

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二、常见力的功1、重力的功 15.1 设质点的质量为 m,在重力作用 下从 M 1运动到 M 2。建立如图坐标，则 力 X 0, Y 0, Z mg 由

zO

M1

M

的 功

W12 得 W12

M2

z2

z1

( mg )dz mg ( z1 z2 )

M1

Xdx Ydy Zdzx

z1

m

g

M2

z2 y

对于质点系，其重力所作的功为

W12 mi g ( zi1 zi 2 ) ( mi zi1 mi zi 2 ) g ( MzC1 MzC 2 ) g Mg ( zC1 zC 2 )由此可见，重力的功仅与重心的始末位置有关，而 与重心走过的路径无关。

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二、常见力的功15.1 2、弹力的功 M 设质点M在弹性力作用下 M 1 r1 r 沿图示轨迹运动，设弹簧原长 r0 r 2 为 l 0 ,弹性系数为 k ,在弹性 l0 O 范围内，弹性力 F 为 F k (r l0 )r0 M2 M2 由 W12 F dr 得 W12 k (r l0 )r0 dr M1 M1 1 2 1 1 因为 r0 dr r dr d (r r ) dr dr r 2r 2r r r 1 于是 W12 k (r l0 )dr k (r l0 ) 212 2

F

力 的 功

2

M2

r1

2

1 k (r1 l0 ) 2 (r2 l0 ) 2 2

1 2 或 W12 k ( 12 2 ) 2

r1

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二、常见力的功15.1

力 的 功

如图，作用在定轴转动刚体上的力F 当刚体从 1 位置转到 2 位置所作的功为W12 其中 所以

3、定轴转动刚体上作用力的功

z FO1 Fn MO Fb F

F ds F O1M d M1 1 M z ( F ) F O1MW12 2 1

M2

2

当 M z (F ) 为常量时

若作用在刚体上为力偶，矩矢为 m ,则力偶所W12 mz d 1 2

W12 M z ( F ) ( 2 1 )

M z ( F )d

作的功为 当mz为常量时

W12 mz ( 2 1 )

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二、常见力的功4、摩擦力的功 15.1 如图，当物体在固定面上滑动 时，则滑动摩擦力的功为

zxO F M1

mg

力

的 当 f N 为常量时 W f Ns 12 功 其中 s为质点所经过的弧长。由此可见，摩擦力所作的功与质点所走过的路径有关。

W12 Fds f Ndss1 s1

s2

s2

s

N

M2

y

如图，当刚体在固定平面上作纯滚 动时，摩擦力和法向反力作用在瞬心上， 由于瞬心速度等于零，故瞬心没有位移。 因此摩擦力和法向反力不作功。

C

F

N

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例1 如图所示滑块 P 9.8N 15cm A k 0.5 重 ，弹簧刚度系 N cm B ,滑块在A位置 15.1 数 20cm 20 时弹簧对滑块的拉力为 N , 2.5N 滑块在 的绳 子拉力作用下沿光滑水平槽从位置A运动到位置B, 力 求作用于滑块上所有力的功的和。 T P 的 解：滑块在任一瞬时受力如图。由 F 于 P 与 N 始终垂直于滑块位移，因此， N 功 它们所作的功为零。所以只需计算 T 与 F 的功。先计算 T 的功： 在运动过程中， T 的大小不变，但 …… 此处隐藏：1960字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……