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第十四章 动能定理 力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例

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引

言

前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。

在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功 与动能。

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一、功的概念1、常力的功 15.1 设物体在常力 F 作用下沿直 线走过路程S,如图，则力所作的 力 功W定义为M1

s

F

M2

F

W F cos s F s

的 功是代数量。它表示力在一段路程上的累积作用效应，因此功为累积量。在国际单位制中，功的单位为：J 功 (焦耳),1J 1N m。 M M2 ds 2、变力的功 M dr 设质点M在变力 F 的作用下沿曲 F 线运动，如图。力 F 在微小弧段上所 M1 作的功称为力的元功，记为 W ,于是 有

W F cos ds F ds

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一、功的概念15.1

力 上式称为自然法表示的功的计算公式。

于是在整个路程中，力 F 所作的功为 M2 M2 W12 F cos ds F dsM1 M1

ds M dr

M M2

设对应微小弧段 ds的位移为dr ,则 M 1 的 力的元功的表达式为 W F dr M2 功 力 F 从 M 1到 M 2本所作的功为 W F dr 12

F

M1

上式称为矢径法表示的功的计算公式。 设：F Xi Yj Zk dr dxi dyj dzk 则 W Xdx Ydy Zdz

W12

M2

M1

Xdx Ydy Zdz

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一、功的概念上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为 15.1 功的解析表达式。 3、合力的功 力 若在质点上作用有 n 个力，其合力为 R Fi , 则当质点从 M 1运动到 M 2时，合力 R 所作的功为

的 功

M2 W12 R dr ( F1 F2 Fn ) dr M1 M1 M2 M2 M2 F1 dr F2 dr Fn drM2

W1 W2 Wn Wi

M1

M1

M1

即：汇交力系的合力在任一路程中所作的功等于各 分力在同一路程中所作功的代数和。

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二、常见力的功1、重力的功 15.1 设质点的质量为 m,在重力作用 下从 M 1运动到 M 2。建立如图坐标，则 力 X 0, Y 0, Z mg 由

zO

M1

M

的 功

W12 得 W12

M2

z2

z1

( mg )dz mg ( z1 z2 )

M1

Xdx Ydy Zdzx

z1

m

g

M2

z2 y

对于质点系，其重力所作的功为

W12 mi g ( zi1 zi 2 ) ( mi zi1 mi zi 2 ) g ( MzC1 MzC 2 ) g Mg ( zC1 zC 2 )由此可见，重力的功仅与重心的始末位置有关，而 与重心走过的路径无关。

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二、常见力的功15.1 2、弹力的功 M 设质点M在弹性力作用下 M 1 r1 r 沿图示轨迹运动，设弹簧原长 r0 r 2 为 l 0 ,弹性系数为 k ,在弹性 l0 O 范围内，弹性力 F 为 F k (r l0 )r0 M2 M2 由 W12 F dr 得 W12 k (r l0 )r0 dr M1 M1 1 2 1 1 因为 r0 dr r dr d (r r ) dr dr r 2r 2r r r 1 于是 W12 k (r l0 )dr k (r l0 ) 212 2

F

力 的 功

2

M2

r1

2

1 k (r1 l0 ) 2 (r2 l0 ) 2 2

1 2 或 W12 k ( 12 2 ) 2

r1

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二、常见力的功15.1

力 的 功

如图，作用在定轴转动刚体上的力F 当刚体从 1 位置转到 2 位置所作的功为W12 其中 所以

3、定轴转动刚体上作用力的功

z FO1 Fn MO Fb F

F ds F O1M d M1 1 M z ( F ) F O1MW12 2 1

M2

2

当 M z (F ) 为常量时

若作用在刚体上为力偶，矩矢为 m ,则力偶所W12 mz d 1 2

W12 M z ( F ) ( 2 1 )

M z ( F )d

作的功为 当mz为常量时

W12 mz ( 2 1 )

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二、常见力的功4、摩擦力的功 15.1 如图，当物体在固定面上滑动 时，则滑动摩擦力的功为

zxO F M1

mg

力

的 当 f N 为常量时 W f Ns 12 功 其中 s为质点所经过的弧长。由此可见，摩擦力所作的功与质点所走过的路径有关。

W12 Fds f Ndss1 s1

s2

s2

s

N

M2

y

如图，当刚体在固定平面上作纯滚 动时，摩擦力和法向反力作用在瞬心上， 由于瞬心速度等于零，故瞬心没有位移。 因此摩擦力和法向反力不作功。

C

F

N

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例1 如图所示滑块 P 9.8N 15cm A k 0.5 重 ，弹簧刚度系 N cm B ,滑块在A位置 15.1 数 20cm 20 时弹簧对滑块的拉力为 N , 2.5N 滑块在 的绳 子拉力作用下沿光滑水平槽从位置A运动到位置B, 力 求作用于滑块上所有力的功的和。 T P 的 解：滑块在任一瞬时受力如图。由 F 于 P 与 N 始终垂直于滑块位移，因此， N 功 它们所作的功为零。所以只需计算 T 与 F 的功。先计算 T 的功： 在运动过程中， T 的大小不变，但方向在变，因 此 T 的元功为 W T cos dxT

T

其中 cos (20 x)

(20 x) 152

2

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15.1

因此 T 在整个过程中所作的功为 20 20 20 x WT T cos dx 20 d

x 0 0 (20 x) 2 15 2 20 (20 x) 2 15 2

力 的

再计算 F 的功：

20 0

200 N cm

2.5 由题意： 1 5cm 2 5 20 25cm 0.5 功 因此 在整个过程中所作的功为 F 1 1 2 2 WF k ( 1 2 ) 0.5(52 25 2 ) 150 N cm 2 2 因此所有力的功为

W WT WF 200 150 50 N cm

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例：

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一、质点的动能 15.2 为

设质点的质量为 m ,速度为 v ,则质点的动能1 2 T mv 2

质 点 因速度为瞬时量，所以动能也为瞬时量，它是恒正的 及 标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。 质 二、质点系的动能 点 质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能， 系 1 2 的 即 T mi vi 2 动 能 刚体是工程实际中常见的质点系，当刚体的运动形式不同时，其动能的表达式也不同。 1、平动刚体的动能

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15.2

质 点 及 质 点 系 的 动 能

1 1 2 1 2 2 T mi vi vC mi MvC 2 2 2 2、定轴转动刚体的动能 1 1 1 2 1 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri J z 2 2 2 2 2 3、平面运动刚体的动能 1 C T J C 2 d vC 2 C 因为 J C J C md 2 所以 1 1 1 2 2 2 T ( J C md ) J C m(d ) 2 2 2 2 因为d vC 所以 T 1 mv 2 1 J 2 C C 2 2 即：平面运动刚体的动能等于随同质心平动的动能 与相对质心转动的动能的和。

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例2 长为 l ,重 P 的均质杆OA绕通 转 O C 过球形铰链的竖直轴 Oz 以等角速度 15.2 动。如杆与铅直线的夹角为 ,求杆的动 能。 P A 质 解：在杆上距O为 r 处取一微段 dr, z 点 P dm dr,该微段到 Oz 的 及 如图。其质量 r O

质 距离为r sin ,则该微段的动能为 1 1 P 点 2 2 系 dT 2 dmv 2 gl dr(r sin ) 的 P sin 2 2 2 动 r dr 2 gl 能所以整个杆的动能为

gl

C

dr

P A

T

T

0

P 2 sin 2 l 2 P 2 2 2 dT 0 r dr 6 g l sin 2 gl

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l 15.2 AB,杆以角速度 绕A转动，如图。试 求当杆AB与铅垂线的夹角为 时，杆的 质 动能。 B 点 vA 解：AB杆作平面运动，其质心C A vCA 及 vC 质 的速度为 vC v A vCA C vA 速度合成矢量图如图。由余弦定理 点 2 2 2 B 180 系 vC v A vCA 2v AvCA cos( ) 2 2 的 v A ( 1 l ) 2 2v A 1 l cos v A 1 l 2 2 l v A cos 2 2 4

例3 滑块A以速度 v A在滑道内滑动， 其上铰接一质量为 m ,长为 l 的均质杆

A

vA

动 2 则杆的动能 T 1 mvC 1 J C 2 能 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 m(v A 4 l l v A cos ) 2 ( 12 ml ) 2 1 1 2 2 2 m(v A 3 l l v A cos )