[原创]2012年《高考风向标》高考文科数学一轮复习 第十五章 第2讲 变量的相关

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第 2 讲

变量的相关性

1.变量间的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一 相关关系 相关关系 类是___________;与函数关系不同，__________是一种非确定 性关系.

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2.两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过 线性相关关系 散点图中心的一条直线附近，称这两个变量之间具有_________ 回归直线 ______,这条直线叫_____________. (2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内， 正相关 两个变量的这种相关关系称为_______,点分布在左上角到右下 负相关 角的区域内，两个变量的相关关系为_______.

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^ ^ ^ ^ (3)回归直线方程为y=bx+a,其中b=

( xi yi nx y ) 2 ∑i =1

n

nx 2 i =1 _____________,2 i

∑x

n

^ ^ y -b x a=_________.1 n 1 n x x,y 其中 x = n ∑ i, y = ∑ yi ,点(_ ____)称为样本点的中心. i =1 n i =1

^ ^ (4)通过求 Q= ∑ (yi-bxi-a)2的最小值而得到回归直线的i=1

n

方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和 最小二乘法 最小，这一方法叫做____________.

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3.相关系数、相关指数

(1)相关系数 r=

,当 r>0 时，表示两

个变量正相关；当 r<0 时，表示两个变量负相关.r 的绝对值越 1 接近___,表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近 0 __,表示两个变量之间几乎不存在线性关系.通常当 r 的绝对 0.75 值大于____时，认为两个变量有很强的线性相关关系.

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(2)相关指数：R2=1-

 ( y  y )2i i

n

 ( y  y)2i i =1

i =1 n

1 ,R2 越接近___,表示回

归的效果越好.

1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( D ) A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正 n 边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高

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2.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( B ) A.预报变量在 x 轴上，解释变量在 y 轴上 B.解释变量在 x 轴上，预报变量在 y 轴上 C.可以选择两个变量中任意一个变量在 x 轴上 D.可以选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上 3.在两个变量的回归分析中，作散点图是为了( C ) A.直接求出回归直线方程 B.直接求出回归方程 C.根据经验选定回归方程的类型 D.估计回归方程的参数

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4.已知回归直线的斜率估计值是 1.23,样本点的中心为 ^ y=1.23x+0.08 (4,5),则回归直线的回归方程是_____________. 5.已知三点(3,10)(7,20),(11,24)的横坐标 x 与纵坐标 y 具^=7x+23 y 4 4 有线性关系，则其线性回归方程是___________.

- ^ =30+2140+2642 3×4×18 解析： 样本点的中心为(7,18), b 3 +72+11 -3×727 ^ 7 23 ^ 7 23 =4,a=18-4×7= 4 .故答案为y=4x+ 4 .

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考点 1 相关关系的判

断 例 1:在 7 块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量 对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg): 施化肥量 水稻产量 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455

(1)画出散点图； (2)判断 X、Y 是否具有相关关系.

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解题思路：散点图能直观地反映两个变量之间是否存在相 关关系. 解析：(1)散点图如图 15-2-2.

图 15-2-2 (2)根据散点图可知，X 与Y 具有线性关系.

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若在散点图中点的分布有一个集中的大致趋 势，所有点看上去都在一条直线附近波动，就可以说变量间是 线性相关的. 【互动探究】 1.据两个变量 x、y 之间的观测数据画成散点图如图 15-2 否 -3,这两个变量是否具有线性相关关系(填“是”或“否”)____.

图 15-2-3

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考点 2 回归方程的求法及回归分析 例 2:下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程 中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照 数据 x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的 ^ ^ ^ 线性回归方程y=bx+a;

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(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准 煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的 生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？( 参考数值：3×2.5 + 4×3+5×4+6×4.5=66.5) 解题思路：(1)将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点， 得到散点图. (2)按求回归方程的步骤和公式，写出回归方程. 解析：(1)图略.(2) ∑ xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,i=1 n

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3+4+5+6 2.5+3+4+4.5 x= =4.5, y = =3.5. 4 4

∑i=1

n

x2=32+42+52+62=86, i

^ =66.5-4×4.5×3.5=66.5-63=0.7, b 86-4×4.52 86-81 ^ ^ a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35, ^ 故线性回归方程为y=0.7x+0.35. (3)根据回归方程的预测，现在生产 100 吨产品消耗的标准 煤的数量为：0.7×100+0.35=70.35,

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故耗能减少了 90-70.35=19.65(吨). 作相关性检验，有时也用作散点图，并观察所给 的数据列成的点是否在一条直线的附近，这样做既直观又方便， 因而对解决相关性检验问题比较常用，但在作图中，由于存在 误差，有时又很难说这些点 …… 此处隐藏：1257字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……