数字图像处理

第四讲 灰度直方图变换Lecture 4 Gray-level Histogram Transformations

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图像灰度直方图(histogram) 一、定义灰度直方图反映的是一幅图像中各灰度级像 素出现的频率。以灰度级为横坐标，纵坐标为灰 度级的频率，绘制频率同灰度级的关系图就是灰 度直方图。它是图像的一个重要特征，反映了图 像灰度分布的情况。 下图是一幅图像的灰度直方图。 频率的计算式为

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灰度图像的直方图(histogram)

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彩色图像的分波段直方图

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二、计算该图像像元总数为8*8=64, i=[0,7]0 0 1 2 3 2 1 3 1 5 6 6 2 2 2 1 3 7 0 7 2 5 3 2 2 6 6 5 7 6 2 3 1 2 3 3 2 2 1 1 3 5 5 6 4 7 2 2 2 6 1 5 1 6 1 2 1 7 2 0 6 0 2 1

v0=5/64 v1=12/64 v2=18/64 v3=8/64 v4=1/64 v5=5/64 v6=8/64 v7=5/64

vi

i

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直方图的性质①灰度直方图只能反映图像的灰度分布情况，而不能反 映图像像素的位置,即丢失了像素的位置信息。 ②一幅图像对应唯一的灰度直方图，反之不成立。不同 的图像可对应相同的直方图。下图给出了一个不同的 图像具有相同直方图的例子。

不同的图像具有相同直方图 ③一幅图像分成多个区域，多个区域的直方图之和即为 原图像的直方图。

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直方图的应用①用于判断图像量化是否恰当

(a) 恰当量化

(b)未能有效利用 (c)超过了动态范围 图2.4.4直方图用于判断量化是否恰当

②用于确定图像二值化的阈值

0 g ( x, y ) 1

f ( x, y ) T f ( x, y ) T

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具有二峰性的灰度图象

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③当影像上目标的灰度值比其它部分灰度值大或 者灰度区间已知时，可利用直方图统计图像中 物体的面积。 A= n

vi T

i

④ 计算图像信息量H(熵)

H Pi log2 Pii 0

L 1

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图像获取过程中经常出现以下情况：(a)成像时曝光不足，灰度级集中在低亮 度范围内，使得整幅图像偏暗 (b)成像时过曝光，灰度级集中在高亮度 范围内，使得整幅图像偏亮 (c)低对比度，成像设备的非线性或图像 记录设备动态范围太窄，灰度级集中在中央 亮度范围内

(b)

(d) 高对比度，灰度级在整个动态范围内 均匀分布

(c)

(a) 注：图像来自R.C.Gonzalez (d)

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绘制直方图使用函数imhist(f)1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0 50 100 150 200 250

横坐标表示灰度值，纵坐标表示各灰度值出现的次数或概率

1.灰度范围

2.整幅图像的明暗

3. 对比度

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直方图修整法包括直方图均衡化 (Histogram Equalization)及直方图规定化(匹配化)(Histogram Specification (Matching))两类。

直方图均衡化

(Histogram Equalization)

直方图均衡化是将原图像通过某种变换，得到一幅灰度 直方图为均匀分布的新图像的方法。直方图均衡化

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连续图像直方图均衡化先讨论连续变化图像的均衡化问题，然后推广到离 散

的数字图像上。

设r和s分别表示归一化了的原图像灰度和经直方图 修正后的图像灰度。即

0 r, s 1在[0,1]区间内的任一个r值，都可产生一个s值，且

s T (r )T(r)作为变换函数，满足下列条件： 1. 在0≤r≤1内为单调递增函数，保证灰度级从黑到白的次序不变；

2. 在0≤r≤1内，有0≤T(r)≤1,确保映射后的像素灰度在允许的范 围内。

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反变换关系为

r T 1 (s)T-1(s)对s同样满足上述两个条件。令pr(r)和ps(s)分别代表变换前后图像灰度级的概率密度函数，由基本概 率理论得到一个基本结果，如果pr(r)和T(r)已知，且T-1(s)满足上述两个 条件，那么变换变量s的概率密度函数ps(s)可由以下简单公式得到：

dr d 1 p s ( s ) p r (r ) p r (r ) [T ( s)] ds ds因此，变换变量s的概率密度函数由输入图像的概率密度函数和所选 择的变换函数决定。

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在图像处理中一个尤为重要的变换函数如下所示：

s T (r ) p r ( )d 0

r

是积分变量。上式两端对r求导：r ds dT (r ) d p r ( )d p r (r ) dr dr dr 0

上式表明，当变换 函数为r的累积直 方图函数时，能达 到直方图均衡化的 目的。

从基本微积分学(莱布尼茨准则),我们知道关于上限的定 积分的导数就是该上限的积分值。该结果代入公式 p (s) p (r ) dr p (r ) d [Ts r

1

ds

r

ds

( s)]

得到：

dr 1 p s ( s) p r (r ) p r (r ) 1 ds p r (r )变换后图像的概率密度函数是均匀的。

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例题：给定一幅图像，其灰度级分布概率密度函数为： 求使图像灰度级均匀化的变换函数T(r) 。

2r 2,0 r 1 p r (r ) 0, 其它解：

s T r pr d 2 2 d r 2 2r0 0

r

r

dr 1 1 ps s pr r pr r 2r 2 1 ds ds 2r 2 dr