第四章随机变量的数字特征

概率论与数理统计(苏德矿版)课件

第四章 随机变量的数字特征 我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面 地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问 题中,这样的全面描述并不使人感到方便.

已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如 果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要 比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就 可以了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产 蛋量高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们 的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握 ,又难以迅速地作出判断.

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§1 随机变量的数学期望§1.1 离散型随机变量的数学期望 例：有A,B两射手，他们的射击技术如表所 示，试问哪一个射手本领较好？射手名称 击中环数 概率 8 0.3 A 9 0.1 10 0.6 8 0.2 B 9 0.5 10 0.3

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例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手 表的日走时误差,其数据如表:日走时误差xk 只数Nk -2 3 -1 10 0 17 1 28 2 21 3 16 4 5

则抽查到的100只手表的平均日走时误差为x

xk

k

Nk

N

( 2) 3 ( 1) 10 0 17 1 28 2 21 3 16 4 5 1.22 100

即

Nk 平均值 xk N

x

k

fk

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如果另外再抽验100只手表,每作一次这样的检 验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误 差的平均值.由关于频率和概率关系的讨论知,理论 上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的 平均值才是理论上(也是真正)的平均值.

这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念.

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定义:设离散型随机变量X的概率分布为 P{ X xk } p k k 1,2,... 如若

| xk

k

| pk

则称 xk pk 为随机变量X的数学期望,记为E(X).k

如果

| xk

k

| pk

则称随机变量X的数学期望不存在.

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例:有A,B两射手，他们的射击技术如表所示， 试问哪一个射手本领较好？射手名称 A B

击中环数概率

80.3

90.1

100.6

80.2

90.5

100.3

解 A射击平均击中环数为

8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3B射击平均击中环数为

8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1

所以A的射击技术较B的好.

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例：某工人工作水平为：全天不出废品的日子 占 30%,出一个废品的日子占 40%,出二个废品 占 20%,出三个废品占 10%。 ① 设 X 为一天中的废品数，求 X 的分布律； ② 这个工人平均每天出几个废品？

解 ① 分布律为：

X

0

1

2

3

P ② 平均废品数为：

0.3 0.4 0.2 0.1

E ( X ) 0 0.3 1 0.4 2 0.2 3 0.1 1.1( 个 / 天)

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例:设随机变量X具有如下的分布，求E(X).

2 1 P{ X ( 1) } k , k 2k

k

k 1,2,...

解

虽然有 k

2k 1 k 1 xk P{ X xk } ( 1) k 2k ( 1

) k ln 2 k 1 k 1 k 1

收敛,但

k 1

1 xk pk k 1 k

发散,因此E(X)不存在.

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§1.1.1(0-1)分布数学期望设X的分布列为： X P 其中 则 0 q 1 p

0< p< 1

q 1 p

E ( X ) 0 q 1 p p

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§1.1.2 二项分布数学期望 定理:设随机变量X服从二项分布,即k P{ X k} C n p k q n k

k 0,1,2,..., nn

则随机变量X的数学期望E(X)=np. 证明 E ( X ) k P{ X k} kCnk p k q n kk 0 k 1n np(n 1)! k n! k n k p k 1q ( n 1) ( k 1) p q k 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]! k 1 k!( n k )!

n

n

np

(n 1)! p k 1q ( n 1) ( k 1) np( p q) n 1 np k 1 0 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!n 1

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§1.1.3 泊松分布数学期望 定理:设随机变量X服从泊松分布,即P{ X k}

kk!

e ,

k 0,1,2,...; 0

则随机变量X的数学期望E(X)=λ . 证明: k e e k 1 e e E( X ) k k 0

k!

k 1

(k 1)!

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§1.2 连续型随机变量的数学期望 我们已知离散型随机变量X的数学期望为 E(X)= xk pkk

自然要问连续型随机变量的数学期望是什么?

设p(x) 是连续型随机变量X的密度函数,取分点 x0<x1<…<xn+1则随机变量X落在△xi=(xi, xi+1)中的概率为P{ X xi } xi 1 xi 相当小时 xi

p( x)dx

p( xi ) xi P{Y xi }n i 0

与X近似的随机变量Y的数学期望为 xi p( xi ) xi 由微积分知识自然想到X的数学期望为

xp( x)dx

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定义:设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若

则称

| x | p( x)dx

如果

xp( x)dx

为连续型随机变量X的数学期望,记为E(X).

| x | p( x)dx

则称连续型随机变量X的数学期望不存在.

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例:设随机变量X的概率密度函数为 2 x, p( x) 0, 0 x 1 其他

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