正切函数图像与性质
发布时间：2021-06-06
高一数学正切函数图象与性质复习
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正切函数图像 作法如下： ①作直角坐标系， 并在直角坐标系 轴左侧作单位圆. ②把单位圆右半圆分成 8 等份， 分别在单位圆中作出正切线.③描点。(横坐标是一个周期的 8 等分点，纵坐标是相应的正 切线)④连线.
余切函数 y=cotx
(2)正切函数的性质 ①定义域： x | x k
,k Z 2
②值域： R
③周期性：正切函数是周期函数，周期是 . ④奇偶性： ta n ( x ) ta n x ,∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点 O 对称. 2 k ,
⑤单调性： 由正切曲线图象可知： 正切函数在开区间 (
2
k ), k Z 内都是增函数.
强调： a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 b.正切函数在每个单调区间内都是增函数 余切函数 y=cotx,x∈(kπ ,kπ +π ),k∈Z 的性质：
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定义域： x R 且 x k , k z
值域：R
周期： T
奇偶性：奇函数
单调性：在区间 k , k 1 上函数单调递减。 正切函数的定义域问题 例：求函数 y ta n ( x 4 ) 的定义域.
练习：求函数 y tan( 2 x 例：函数 y=lgtanx 2
4
) 的定义域
的定义域是 4
( (B) {x|4kπ <x<4kπ + (D)第一、三象限 2
)
(A){x|kπ <x<kπ +
,k∈Z}
,k∈Z}
(C) {x|2kπ <x<2kπ +π ,k∈Z} 例：求下列函数的定义域 1、 y cot x tan x 1
2、 y
cot x csc x
k x k cot x 0 2 tan x 1 0 x k k z 解：1、 4 x k x k x k 2 x k 2
, k k , k k , k Z 4 4 2 cot x 0 2 csc x 0 或 x k cot x 0 csc x 0 x k
第一象限或第四象限包 2
括 y轴
x ( 2 k ,2 k
2
] [2 k
,2 k ) k z3 的定义域.
例：求函数 y=lg(tanx- 3 )+ 2 cos x 解：欲使函数有意义，必须 tanx> 3 , 2cosx+ 3 ≥0, x≠kπ + 2
(k∈Z) 3
∴函数的定义域为(kπ +
,kπ +
2
) .
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例：函数 y= log
1 2
tan x 的定义域是(
) B.{x|2kπ <x≤2kπ + 4
A.{x|0<x≤
4
) 4
,k∈Z 4
C.{x|kπ <x≤kπ
+
,k∈Z
D.{x|kπ -
2
<x≤kπ +
,k∈Z
解：由 log 1 tanx≥0,得 0<tanx≤12
根据 y=tanx 在 x∈(-
2
,
2
)上的图象可知 0<x≤
4
结合周期性，可知原函数的定义域为： x|kπ <x≤kπ + { 练习：求函数 y= cot x sin x 的定义域. 三角函数的值域与最值问题 2 例：函数 y=tan x-2tanx+3 的最小值是 求函数 y=ta n x 1 ta n x 1
4
,k∈Z}
;
的值域.
2 练习：函数 y ta n x ta n x 1 x k
, k Z 的值域是 2
三角函数的奇偶性与周期性问题 例：函数 y=tan (2x+ 6
)的周期是 2
例： 在下列函数中,同时满足(1)在(0, (A) y=|tanx| 练习：函数 y=2tan( 3
)上递增； (2)以 2π 为周期； (3)是奇函数的是 (C) y=tan ,周期是1 2
(
)
(B) y=cosx x 2
x
(D) y=-tanx
)的定义域是 5
; 6
求下列函数的周期： (1) y 3 ta n x
(2) y t a n 3 x
说明：函数 y A tan x A 0, 0 的周期 T
.
三角函数的单调性问题 例：已知 a=tan1,b=tan2,c=tan3,则 a、b、c 的大小关系是 (A) a<b<c (B) c<b<a (C) b<c<a 例： 已知函数 y=tanω x 在( 2
( (D) b<a<c ( (D) ω ≤ -1 16
) )
,
2
)内是单调减函数,则 ω 的取值范围是 (C) ω ≥1 (2)tan(7 8
(A)0<ω ≤ 1 (B) -1≤ω <0 例：不通过求值，比较下列各式的大小 (1)tan( 5
)与 tan(-
3 7
)
)与 tan (
)
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例：求函数 y=tan(2x解：y=tanx,x∈(∴即 2
3
)的单调区间. 2
2
+kπ , 3
+kπ ) (k∈Z)是增函数.
+kπ <2x+k 2
<5 12
2
+kπ ,k∈Z.k 2
12
<x< 3
+
,k∈Z 12
函数 y=tan(2x练习：比较大小
)的单调递增区间是(-
+
k 2
,
5 12
+
k 2
)(k∈Z) .
(1 ) tan 138 _____
tan 143 x 2
( 2 ) tan(
13 4
) _____ tan(
17 5
)
例：求下列函数 y
ta n (
3
)
的周期和单调区间x k k ,k Z 2 3 2 可得 k x k , k Z 2 2 3 2
解：T=
=2π ;
ta n ( ) 0 2 3 由 k x k , k Z 2 2 3 2 cot( x 2
∴可得函数 y= 例：已知 α 、β ∈(
3
)
的递减区间为[2kπ - π ,2kπ +3
2
3
)
(k∈Z)3 2
2
,π ),且 tan(π +α )<tan(5 2
5 2
-β ),求证: α +β <3 2
. 2
证：∵tan(π +α )<tan(3 2
-β ) ∴tanα <tan( π -β ),又∵3 2
2 3 2
<α <π ,
< π
-β <π2
3
∴α 与 π -β 落在同一单调区间,∴α < π -β ,即 α +β < π 例：如果α 、β ∈( A.α <β C.α +β <3 2
2
,π )且 tanα <cotβ ,那么必有( B.β <α D.α +β >3 2
)
3 2
解：tanα <cotβ tanα <tan( ∵α 、β ∈( 2
-β ) 2
,π ), 2
3 2
-β ∈(
,π )
又∵y=tanx 在( ∴α <3 2
,π )上是增函数3 2
-β
即α +β <
例：函数 y=lg(tanx)的增函数区间是(
)
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A.(kπ -
2
,kπ + 2
2
)(k∈Z) 2
B.(kπ ,kπ +
2
)(k∈Z)
C.(2kπ -
,2kπ +
)(k∈Z) 2
D.(kπ ,kπ +π )(k∈Z)
解：函数 y=lg(tanx)为复合函数，要求其增函数区间则要满足 tanx>0,且 y=tanx 是增函数 的区间 解之得 kπ <x<kπ + (k∈Z) 2
∴原函数的增函数区间为：(kπ ,kπ +
)(k∈Z)
例：试讨论函数 y=logatanx 的单调性. 解：y=logatanx 可视为 y=logau 与 u=tanx 复合而成的，复合的条件为 tanx>0, 即 x∈(kπ ,kπ + 2
2
)(k∈Z)
①当 a>1 时，y=logau 在 u∈(0,+∞)上单调递增； 当 x∈(kπ ,kπ + )时，u=tanx 是单调递增的， 2
∴y=logatanx 在 x∈(kπ ,kπ + 2
)(k∈Z)上是单调增函数
②当 0<a<1 时，y=logau 在 u∈(0,+∞)上单调递减； 当 x∈(kπ ,kπ + )时，u=tanx 是单调递增的. 2
∴y=logatanx 在 x∈(kπ ,kπ +
)(k∈Z)上是单调减函数. 2
故当 a>1 时，y=logatanx 在 x∈(kπ ,kπ +
)(k∈Z)上单调递增； 2
当 0<a<1 时，y=logatanx 在 x∈(kπ ,kπ + 正切函数的对称中心与渐近线 例：求函数 y=3tan(2x+ 3
)(k∈Z)上单调递减
)的对称中心的坐标.k 2
分析：y=tanx 是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(
,0) (k∈Z) .函数 y=Atan(ω
x+φ )的图像可由 y=tanx 经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为 图像与 x 轴交点. 解：由 2x+ 3
=
k 2
,(k∈Z) 得 x=k 4
k 4
-
6
(k∈Z)
∴对称中心坐标为(
-
6
,0) (k∈Z)
注意：函数 y=Atan(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的图像及性质可与函数 y=Asin(ω x+φ ) (A> 0,ω >0)的图像及性质加以比较研究. 例：下列关于函数 y=tan2x 的叙述：①直线 y=a(a∈R)与曲线相邻两支交于 A、B 两点,则线段 AB
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长为 π ;②直线 x=kπ + 的命题序号为
,(k∈Z)都是曲线的对称轴;③曲线
的对称中心是(
,0),(k∈Z),正确
. 的图象不相交的一条直线是( 4
例：与函数 y ta n 2 x
D )
A x
2
B x
2
C x
4
D x
8
例：求函数 y tan 3 x
的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的 3
图象可以由正切曲线如何变换得到。 解：由 3 x 3
k
2
得x
k 3k 3
5 18
,
∴所求定义域为 x | x R , 且 x 在区间 k 3
5
, k z ,值域为 R,周期 T ,是非奇非偶函数， 18 3
18
,
k 3
5 k z 上是增函数。 18
将 y ta n x 图象向右平移
3
个单位，得到 y t a n x
的图象；再将 3
1 y ta n x ,就得到函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) 3 3
y tan 3 x 的图象。 3
练习：求函数 y=tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间[-π ,π ]内的图象.
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