专题24--直线与圆的最值问题

专题24--直线与圆的最值问题

主干知识整合

直线与圆中的最值问题主要包含两个方面

1．参量的取值范围

由直线和圆的位置关系或几何特征，引起的参量如k，b，r的值变化．此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数．

2．长度和面积的最值

由于直线或圆的运动，引起的长度或面积的值变化．此类问题主要是建立关于参数如k或b，r的函数，运用函数或基本不等式求最值．

探究点一 有关长度的最小值

直线与圆中有关长度的问题主要包括直线被坐标轴截得的长度、弦长、切线长等．其中弦长、切线长都可以与半径构造直角三角形来求解．

例1 (1)如图24－1，已知圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为________．2

22 (2)直线2ax＋by＝1与圆x＋y＝1相交于A，B两点

(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，

则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最大值为________． 2＋1

探究点二 有关面积的最值问题

圆形成的多边形及动圆的面积．

例2 已知圆C通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1)，且CP率为－1.

(1)试求⊙C的方程；

x2＋y2＋x＋5y－6＝0

(2)过原点O作两条互相垂直的直线l1，l2，l1交⊙C于E，F两点，l37于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值．. 2

【点评】 本题要注意的一个细节是直线l在圆C的下方，利用这个几何特征及二元一

|－a－a＋m|次不等式所表示区域可以去掉d中分子的绝对值符号，从而避免了讨论． 若曲线x2＋y2＋2x－4y＋1＝0上的任意一点关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R＋)的

11的最小值是________．4 ab

规律技巧提炼

直线与圆中最值问题常规处理方法：

(1)直线与圆的最值问题可以考虑找出最值的几何特征，再计算．(如弦长问题)

(2)把所讨论的参数作为一个函数，一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的单调性或利用不等式求最值．

(3)如果建立的函数为二元函数，可以考虑用消元、三角换元或利用其几何意义来解决． (教材必修2 P115习题15改编)

例 直线l过点M(－1,2)且与线段A(－2，－3)，B(4,0)相交，则斜率的取值范围为

2－∞，－∪[5，＋∞) ________． 5

已知集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}，B＝{(x，y)|x2＋y2≤r2，r>0}，若点(x，y)∈A是点(x，y)∈B的必要条件，则r的最大值是________．

2 【解析】 集合A是由四点(1,0)、(－1,0)、(0,1)、(0，－1)围成的正方形区域，2

集合B表示的是以(0,0)为圆心，r为半径的圆面，由于点(x，y)∈A是点(x，y)∈B的必要条