弹性力学第五章

弹性力学基础与高教教材配套

弹性力学土木工程学院

许强

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第五章§5-1§5.2§5.3§5.4§5.5

线弹性体的本构关系应变能和本构关系广义胡克定律各向异性弹性体各向同性弹性体余能密度

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第五章

线弹性体的本构关系

前面已进行了应力分析和应变分析，导出了平衡方程和几何方程。但是，在一般情况下，仅有平衡方程和几何方程还不能解决实际问题。例如，对两个材料不同，但形状相同的物体，在相同的约束和相同的外力作用下，它们的位移和变形是不同的。因此，要解决实际问题，还需要研究材料性质。反映材料性质的应力、应力变化率等和应变、应变率等之间的关系称为本构关系或本构方程。由于材料性质极其复杂，要找出适合于任何连续介质的本构关系是不可能的，甚至要找到适用于同一种连续介质在任意变形情况下的本构关系也是不可能的。事实上，在大部分连续介质力学中，只研究一些理想的本构关系。不同的理想本构关系有不同的适用范围。在本书中，不考虑热效应，且只讨论在小变形情况下适用的线性弹性本构关系——广义胡克定律。

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§5-1

应变能和本构关系

下面讨论可以不计热效应的准静态变形过程。所谓准静态变形过程是指任意时刻的速度和加速度都小到可以忽略不计的过程。准静态变形过程中的动能为零。设位移有一增量，与之对应的应变增量为

设δ ui为虚拟位移，依据虚功原理可知，外力在虚位移上所做的虚功为

1δε ij= (δ ui, j+δ u j,i ) 2i i

(a)

∫ Tδ u ds+∫ fδ u dV=∫σ nδ u ds+∫ fδ u dV=∫ (σδ u ) dV+∫ fδ u dV由式(2.74)可知=∫ (σ+ f )δ u dV+∫σδ u dV其中：δ W=σδε (5.2)=∫σδε dV=∫δ WdV (5.1)单位体积中内力所做的虚功，i i

ij

j

i

i

i

s

V

s

V

ij

i,j

i

i

V

V

ij, j

i

i

ij

i, j

ij

ij

V

V

ij

ij

即应变能密度增量。

V

V

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在式(5.1)的计算中，利用了平衡方程(4.12)、(4.17)及式(4.19)和关系(a)。式(5.1)表明，外力所做的功等于内力所做的功。δW是单位体积中内力所做的功。弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程。外力在准静态过程中所做的功全部转化为由于变形而储存在弹性体内的能量，这种能量称为应变能。不管按什么路径或顺序卸载，卸载后物体恢复到未变形的初始状态，应变能全部释放出来。因此，应变能是状态函数，单位体积中的应变能即应变能密度是状态变量应变的单值函数。因为应变能等于外力所做的功，所以式(5.1)的最右边内力所做的功就是应变能的增量，δW是应变能密度的增量。由于应变能密度是应变的单值函数，故δW必定是全微分，即

dW=σ ij dε ij

(5.3) (5.4) (5.5

)

W=∫σ ij dε ij0

ε ij

从式(5.3)或(5.4),可得

Wσ ij= ε ij

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Wσ ij= ε ij

(5.5)

上式称为格林(Green)公式。只要已知应变能密度的具体函数形式，就可用Green公式求出应力和应变之间的关系，即弹性材料的本构关系。把无应变的自然状态作为加载前物体的平衡状态，并假定这一自然状态是稳定的平衡状态。加载后的平衡状态称为变形状态或干扰状态。根据稳定平衡状态的定义可知，在准静态变形过程中，从稳定的平衡状态到相邻的变形状态，外力必须做正功。从式(5.1)得

V

∫δ WdV> 0

(b)

由于V可以是任取的体积元，所以上式要求δW> 0。令自然状态的应变能为零，则变形状态的应变能密度必正定，即

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由于V可以是任取的体积元，所以上式要求δW> 0。令自然状态的应变能为零，则变形状态的应变能密度必正定，即

W≥0上式中的等号当且仅当ε为零时成立。

(5.6)

§5.2

广义胡克定律

在应变很小的条件下，在εij=0附近把应变能密度按Taylor级数展开，并略去εij二次以上的项其中

1 W= c+ bijε ij+ Eijklε ijε kl 2ε ij= 0

(5.7)

c=W

bij=

W ε ijε ij= 0

(a)

Eijkl

2W= ε ij ε kl

(b)ε ij= 0

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因为

2W 2W 2W 2W=== ε ij ε kl ε ji ε kl ε ij ε lk ε kl ε ij

所以，根据式(b)的定义，有

Eijkl= E jikl= Eijlk= Eklij

(5.8)

取无应变状态时的应变能密度为零，则(a)式中的第一式要求 c=0。把式(5.8)代入式(5.5),并利用式(5.8),得

σ ij= W= bij+ 1 ( Eijklε kl+ Eklijε kl )= bij+ Eijklε kl 2 ε ij

(5.9)

显然bij是无应变时的初应力。按无初始应力假定，应取bij=0,所以式(5.9)和(5.7)可简化成

σ ij= Eijklε klW= 1 Eijklε ijε kl= 1σ ijε ij 2 2

(5.10) (5.11)

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式(5.11)表示应力是应变的线性函数，这一本构关系称为广义胡克 (Hooke)定律。式(5.11)和商法则表明，Eij是一个四阶张量，称为弹性系数张量或弹性模量张量。一般的四阶张量有81个独立的分量。但是，对最一般的线性弹性材料，由于有对称性关系(5.9 …… 此处隐藏：5442字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……