量纲分析相似理论
时间：2025-06-09
量纲分析相似理论
第一章
相似理论和量纲分析
量纲分析相似理论
相似理论-举例1(自然灾害模拟)Lab-scale to Real-scale
explosion
实验室模拟：易于实现、经济、安全； 条件可控；获取的信息多、发现规律 问题：是否反映真实现象？如何应用？
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举例3--小放大(易于观察测量)
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举例4--单摆(量纲分析的优势)研究摆动周期问题(假想不知道牛顿第二定律)α主要影响因素：长度l、质量m重力加速g、角度α
l
Tp = f (l , m, g , α )无量纲化：取三个量纲独立的基本量l、m和g 则时间量纲为(长度/加速度)1/2
m
Tp
g发现规律：Tp = f(α)l / g )1/ 2 ( Tp 正比于l 1/ 2 , 反比于g 1/ 2 , 与m无关，Tp与α有关
(l / g )1/ 2
= f1 (1,1,1, α )次数 按后者 = 10次
Tp (l / g )1/ 2
= f 2 (α )
设计实验：每个因素取十组数据，次数 按前者 = 10 ×10 ×10 ×10 = 10 4 次减少实验量，发现规律，具有普适性，好处多多！!
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举例5--边界层描述(普适性问题)速度快，速度慢，粘性小 问题：多样性(海量数据) 难以推广(大小、快慢、 不同介质)
x1 影响因素：速度U ∞,位置x、y, 粘性系数µ,密度ρ合理选取无量纲参数 纵轴 : u U∞ρ ; 横轴：y U∞ µx
x2
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一、相似的基本理论相似的概念几何相似 ----一个物体经过均匀变形后和另一个物体完全 一个物体经过均匀变形后和另一个物体完全 重合称为两个物体几何相似。 重合称为两个物体几何相似。 运动相似 ----两个几何相似的物体运动时，对应点的运动 ----两个几何相似的物体运动时 两个几何相似的物体运动时， 路径几何相似， 路径几何相似，并且对应点经过对应路径的时间之比是常 称为两个物体运动相似。 数，称为两个物体运动相似。 动力相似----两个几何相似和运动相似的物体，对应点受力 两个几何相似和运动相似的物体， 动力相似 两个几何相似和运动相似的物体 成比例，成为两个物体动力相似 成比例，成为两个物体动力相似 。
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一、相似的基本理论一个物理现象，用n个物理量xi i = 1,2,L n)之间的函数来描述 ( f ( x1 , x2 ,L xn ) = 0 在这些变量xi中涉及到m个基本量纲，可从xi中选择m个量纲独立 的物理量，导出n m个无量纲数π j ( j = 1,2, L n m),它们满足函 数关系 F (π 1 , π 2 , Lπ n m ) = 0 它与f ( x1 , x2 , L xn ) = 0有等价的效力。
π i:相似准则
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研究摆动周期问题α主要影响因素：长度l、质量m重力加速g、角度α
l
Tp = f (l , m, g , α )无量纲化：取三个量纲独立的基本量l、m和g 则时间量纲为(长度/加速度)1/2
m
Tp (l / g )1/ 2
g
= f (1,1,1, α )Tp ,
Tp (l / g )1/ 2
= f (α )
π1 =
(l / g )
1/ 2
π2 = α
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例：液滴受气流作用变形、破碎规律σu
ρ
d
在气流吹动下，忽略粘性、重力等影响，液滴变形、 破碎与气流速度、气体密度、液滴尺寸、表面张力相 关，
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相似准则举例- 相似准则举例-液滴破碎写出决定现象的物理量 写出决定现象的物理量
u
ρ
d
σMT 2
LT 1 ML 3 L
写出量纲矩阵 写出量纲矩阵
uM L T 0 1 -1
ρ1 -3 0
d0 1 0
σ1 0 -2
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相似准则举例- 相似准则举例-液滴破碎选择三个独立变量选择 u, ρ , d三个
独立变量求相似参数z π = σρ x d y uρ u 2 x
0 1 1
1 0 说明基本物理量的量纲是 3 1 = 1 ≠ 0 相互独立的。可写出n-3=4-3=1个无量纲π项
0
0
= MT M L L L Ty z
3 x
d
z
σ
M
0 1 1 = M0+ xT 2 z1 y + z 3 x = M 0T 0 L0 L Lx = 11, z = 2, y = 1 -3 1 0 T
π=
-1σ
0
0
-2
ρu 2 d
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相似准则举例- 相似准则举例-液滴破碎选择另三个独立变量(选择 ) 选择另三个独立变量(选择2)选择 u, ρ , σ三个
独立变量求相似参数
0 1 1 说明基本物理量的量纲是 1 3 0 = 1 ≠ 0 相互独立的。可写出n-3 =4-3=1个无量纲π项 1 0 2
π = dρ xσ y u z= LM x L 3 x M yT 2 y LzT z = M x + yT 2 y z L1+ z 3 x = M 0T 0 L0 x = 1, y = 1, z = 2
ρu 2 d 1 = π′ = σ π
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韦伯(Weber)数
惯性力 ρu 2 d ρu 2 d 2 We = = = σ σd 表面张力
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一、相似的基本理论相似理论相似第一定律--------“彼此相似的现象，它们的同名相似准则 彼此相似的现象， 相似第一定律 彼此相似的现象 必相等。 必相等。” 相似第二定律--------“相似的现象中由相似准则所描述的函数 相似的现象中由相似准则所描述的函数 相似第二定律 关系对两个现象是相同的。 关系对两个现象是相同的。” 相似第三定律--------“假定两个现象服从同一个函数关系，在 假定两个现象服从同一个函数关系， 相似第三定律 假定两个现象服从同一个函数关系 两个现象中所有相似准则相等，则这两个现象相似。 两个现象中所有相似准则相等，则这两个现象相似。”
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