4.1不定积分的概念与基本积分公式

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

第4 章

不定积分

4.1 不定积分的概念与基本积分公式 4.2 换元积分法 4.3 分部积分法

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第4 章基本要求

不定积分

了解原函数提出的背景； 了解原函数提出的背景； 理解并掌握不定积分概念,了解不定积分的几何意义； 理解并掌握不定积分概念 了解不定积分的几何意义； 了解不定积分的几何意义 掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式； 掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式； 掌握不定积分的直接积分法,凑微分法 第二换元积分法 掌握不定积分的直接积分法 凑微分法,第二换元积分法 根号 凑微分法 第二换元积分法(根号 中为一次函数)、分部积分法，会求不定积分。 中为一次函数 、分部积分法，会求不定积分。 理解与掌握不定积分和简单应用， 理解与掌握不定积分和简单应用，会用不定积分解决简单的 实际问题。 实际问题。

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教学内容: 教学内容:不定积分的概念与基本积分公式 引入

前面我们研究了一元函数微分学的基本问题， 前面我们研究了一元函数微分学的基本问题，即已知 一个可导函数F(x),求它的导数 一个可导函数 求它的导数

′ ) F(x = f (x )但在实际问题中，常会遇到与此相反的另一类问题： 但在实际问题中，常会遇到与此相反的另一类问题：

′ ) 即已知某函数的导数 F(x = f (x ,求原函数 F ) , ) (x这就是我们要学习的原函数与不定积分问题。 这就是我们要学习的原函数与不定积分问题。

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例如 已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为 处的切线斜率为k=2x, 已知曲线上任意一点 处的切线斜率为 求此曲线的方程y=f(x)。 求此曲线的方程 。 意为： 意为：什么样的曲线在 x 处的切线斜率为 2x,即 ， 由 f ′( x) = 2 x ,求 f (x )

。

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一.原函数与不定积分的概念

在R内，

(sin x)′ = cos x

称F ( x) = sin x为f ( x) = cos x在R上的一个原函数，不难看出: 不难看出:

sin x + 2,

sin x 5,

sin x + c

(c为任意常数)等 都是函数cos x在R上的原函数.

(1) cos x的任意两个原函数之间 相差一个常数 .

(2) cos x在R上有无穷多个原函数表示为 sin x + c

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′ 在( ∞,+∞ )内， 1 x 2 = x, 2

1 2 称函数F ( x ) = x 为函数 f ( x ) = x的一个原函数， 2

函数f ( x ) = x在 ( ∞,+∞)内有无穷多个原函数，

1 2 表示为 F ( x) = x + c. 2下面给出原函数与不定积分的概念

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1.定义: 上有定义. 1.定义:设函数 f (x) 在区间 I 上有定义. 定义 如果存在可导函数 F (x),使对于任意的 x ∈ I ,都有 F ′( x ) = f ( x ) 或 dF ( x ) = f ( x)dx 则 (1)称 (1)称 F (x)是函数 f (x )在 上的一个原函数. 一个原函数 I 上的一个原函数.

F (2) f ( x)的所有原函数表示为： ( x ) + c (c ∈ R )(3) f ( x)的

所有原函数称为f ( x)在区间I上的不定积分, 记作

∫ f ( x)dx

′ 即, 若F ( x) = f ( x), 则

∫ f ( x)dx = F ( x) + c

(c ∈ R )

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′ 若F ( x) = f ( x), 则∫ f ( x) dx = F ( x) + c (c ∈ R )

∫积 f ( x )dx被 = F积 ( x ) + C任 被积 分 函 号 数 达 量 式 表 变 数 积 分 常 意

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?

什么样的函数有原函数存在呢？ 什么样的函数有原函数存在呢？

2.结论：如果函数 f (x) 在某区间 I 上连续，则其原 结论： 上连续， 结论 函数必存在3. f ( x)的任意两个原函数之间相差一个常数.

即若F ′( x) = f ( x), G ′( x) = f ( x), 则G ( x) = F ( x) + c

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例.计算下列不定积分 计算下列不定积分

(1) ∫ ( 2 x 5) dx解(1) Q x 5 x = 2 x 5,22

(2) ∫ (e x sin x)dx.(2) Q e + cos x = e x sin x,x

(

)

′

(

)

′

∴ ∫ (e x sin x ) dx = e x + cos x + C ∴ ∫ (2 x 5)dx = x 5 x + C.

1 ∫ 1 x 2 + 2 dx = arcsin x + 2 x + c

+ 1 dx = cos x e x + x + c 1 1 ′ ∫ cos 2 xdx = ?2 sin 2 x + c Q 2 (sin 2 x ) = cos 2 x,x

∫ (sin x e

)

思考题

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思考题 求

∫

1 dx x

1 解 当 x > 0 时， (ln x )′ = (ln x ) = , x所以

′

∫

当 x < 0 时， (ln x )′ = [(ln( x )] =

1 dx = ln x + C ( x > 0 ) x ′ 1x

,

1 所以 ∫ x dx = ln( x ) + C ( x &l …… 此处隐藏：3571字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……