首先, 找出三个数, p, q, r,

其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数……

p, q, r 这三个数便是 private key

接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)…..

这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了…..

再来, 计算 n = pq…….

m, n 这两个数便是 public key

编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....

如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),

则每一位数均小於 n, 然後分段编码……

接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),

b 就是编码後的资料……

解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),

於是乎, 解码完毕…… 等会会证明 c 和 a 其实是相等的

如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b……

他如果要解码的话, 必须想办法得到 r……

所以, 他必须先对 n 作质因数分解………

要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,

使第三者作因数分解时发生困难………

<定理>

若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),

a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,

则 c == a mod pq

证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:

m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m

(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)

运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的……..

<证明>

因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数

因为在 modulo 中是 preserve 乘法的