信号与系统第七章

时间：2025-04-03

7.1 系统函数与系统特性一、系统函数的零、极点分布图LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即 B( ) H ( ) A( ) A(.)=0的根p1,p2,…,pn称为系统函数H(.)的极点； B(.)=0的根 1, 2,…, m称为系统函数H(.)的零点。将零极点画在复平面上 jω 得零、极点分布图。 j例 H ( s) 2( s 2) ( s 1) 2 ( s 2 1)(2) -1 -2 0 -j σ

例：已知H(s)的零、极点分布图如示，并且h(0+)=2。求 H(s)的表达式。 jω

解：由分布图可得H ( s) Ks Ks ( s 1) 2 4 s 2 2s 5-1

j2 0 -j2 σ

根据初值定理，有Ks 2 h(0 ) lim sH ( s) lim 2 K s s s 2 s 5H ( s) 2s s 2 2s 5

二、系统函数H(· )与时域响应h(· )冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(.)的极点确定。

下面讨论H(.)极点的位置与其时域响应的函数形式。所讨论系统均为因果系统。1.连续因果系统 H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。 (1)在左半平面 (a) 若系统函数有负实单极点p= –α(α>0),则A(s)中有因子(s+α),其所对应的响应函数为Ke-αtε(t)

(b) 若有一对共轭复极点p12=-α±jβ,则A(s)中有因子[(s+α)2+β2]--- K e-αtcos(βt+θ)ε(t)

(c) 若有r重极点，则A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r,其响应为 Kiti e-αtε(t)或Kiti e-αtcos(βt+θ)ε(t) (i=0,1,2,…,r-1) 以上三种情况：当t→∞时，响应均趋于0。暂态分量。(2)在虚轴上 (a)单极点p=0或p12=±jβ, 则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)-----稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r,其响应函数为 Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)—递增函数

(3)在右半开平面：均为递增函数。综合结论： LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。①H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t→∞时，响应均趋于0。

②H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。③H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t→∞时，响应均趋于∞。

2.离散因果系统 H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类。根据z与s的对应关系，有结论： ①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k→∞时，响应均趋于0。 ②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。 ③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应均趋于∞。

三、系统函数收敛域与其极点之间的关系根据收敛域的定义，H(· )收敛域不能含H(· )的极点。

例：某离散系统的系统函

数z z H ( z) z 0.5 z 3

(1) 若系统为因果系统，求单位序列响应h(k); (2) 若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k); (3) 若系统存在频率响应，求单位序列响应h(k);解 (1) |z|>3,h(k) =[(-0.5)k + (3)k] (k) (2) |z|<0.5,h(k) =[-(-0.5)k - (3)k] (-k-1) (3) 0.5<|z|<3,h(k) = (-0.5)k (k) - (3)k (-k-1)

7.2 一、因果系统

系统的稳定性

因果系统是指，系统的零状态响应yf(.)不会出现于f(.)之前的系统。

连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t<0 或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]>σ0 离散因果系统的充分必要条件是：单位响应 h(k)=0, k<0或者，系统函数H(z)的收敛域为：|z|>ρ0

二、系统的稳定性1、稳定系统的定义

一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ,其零状态响应 |yf(.)|≤My,则称该系统稳定。(1)连续系统稳定的充分必要条件是

| h(t ) | dt M

若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。

(2)离散系统稳定的充分必要条件是k

| h(k ) | M

若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定的系统。例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1) (1) 若为因果系统，求h(k),并判断是否稳定。 (2) 若为稳定系统，求h(k).解z 1 z z 0.4 z 0.4 z H ( z) 1 1.5z 1 z 2 z 2 1.5z 1 ( z 0.5)(z 2) z 0.5 z 2

(1)为因果系统，故收敛域为|z|>2,所以 h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]ε(k),不稳定。 (2)若为稳定系统，故收敛域为0.5<|z|<2,所以 h(k)=0.4(0.5)kε(k)+0.4(-2)kε(-k-1)

因果系统稳定性的充分必要条件可简化为(3)连续因果系统

| h(t ) | dt M0

因为因果系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数。故，若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定的因果系统。 (4)离散因果系统

| h(k ) | Mk 0

因为因果系统单位圆内的极点对应的响应为衰减函数。故，若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定的因果系统。

例1:如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系统是稳定的？其中子系统的系统函数G(s)=1/[(s+1)(s+2)]

解：设加法器的输出信号X(s) X(s)=KY(s)+F(s)

F(s)

∑

X(s)K

G(s)