求复合函数相关定义域

一、已知f(x)的定义域，求复合函数f[g x ]的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为x a,b ，求出f[g(x)]中a g(x) b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。

例1 已知f(x)的定义域为(0，3]，求f(x2 2x)定义域。

解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即

2 x 2，或x 0 x 2x 0 0 x 2x 3 2 3 x 1 x 2x 3

即 3 x 2或0 x 1

故f(x2 2x)的定义域为 3, 2 0,1

【评注】所谓定义域是指函数中自变量x的取值范围，因此我们可以直接将复合函数22中x 2x看成一个整体x，即由0 x 3可得0 x 2x 3，解出x的范围即可。

2 x x 2 （2006年湖北卷）设f x lg，则f f 的定义域为 （B） 2 x 2 x

A. 4,0 0,4 B. 4, 1 1,4

C. 2, 1 1,2 D. 4, 2 2,4

二、已知复合函数f[g x ]的定义域，求f(x)的定义域

方法是：若f[g x ]的定义域为x a,b ，则由a x b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。

例2 若函数f 3 2x 的定义域为 1,2 ，求函数f x 的定义域

解 1 x 2， 1 3 2x 5，

故函数f x 的定义域为 1,5

【评注】由f 3 2x 的定义域为 1,2 得 1 x 2，有的同学会误将此x的范围当作f x 的定义域，为了更易分清此x非彼x，我们可将3 2x令成一个整体t，即t 3 2x，先解出f t 的定义域，即为f x 的定义域。

三、已知复合函数f[g x ]的定义域，求f[h x ]的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f[g x ]定义域求得f x 的定义域，再由f x 的定义域求得f[h x ]的定义域。

3)，求f x 2 的定义域。 例3 已知f(x 1)的定义域为[ 2，

3)得 2 x 3，故 1 x 1 4 解 由f(x 1)的定义域为[ 2，

即得f x 定义域为[ 1，4)，从而得到 1 x 2 4，所以1 x 6

故得函数f x 2 的定义域为 1,6

四、已知f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 2

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例4 已知函数f x 定义域为是[a,b]，且a b 0

求函数h x f x m f x m m 0 的定义域

a x m b a m x b m 解 ， m 0, a m a m a x m ba m x b m

b m b m，又a m b m