第23卷第6期2010年12月高等函授学报(自然科学版)

JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences) Vol.23No.6 2010

中对应的球极坐标来表示L^x的本征值方程。显然得到结果与在旧坐标系下求解L^z本征值方程所得结果形式一致,只是自变量代表的含义不同。

2

展开,

即Ylm( , )=

m =-l

l

Cm Ylm ( , )

L^x的本征值方程为:

L^xYlm( , )=m Ylm( , )

图1

(2)

利用升降算符L^+,L^-的性质:L^ Ylm ( , )=

l,m 1( , )

(3)

将L^x=(L^++L^-)以及(3)式代入(2)式得

2Ylm( , )=

m =-l

故L^x,L^本征函数、本

im

征值分别是:!m( )=e(m=0, 1,

2

2

2#),Ylm( , );m ,l(l+1)

同样,[L^2,L^x]=0,它们的共同本征函数为Ylm( , ),这里, , 的含义如图2所示,P 是P在平面x oy 内的投影。 表示OP与z 轴正半轴的夹角,在旧坐标系中,实际上是与x轴正半轴的夹角。 表示OP 与x 轴正半轴的夹角,在旧坐标系中,实际上是与y轴正半轴的夹角。1.3L^y算符的本征值方程求解

同求解L^x算符的本征值方程一样,旋转坐标系使新坐标系的z 轴与y轴重合,于是可以得到,L^y与^的本征函数、L本征值分别是:!m( %)=

2

l

l

m

[2m

l(l+1)-m (m +1)Yl,m +1( , )

+

m =-l

l,m -1( , )]=Cm Ylm ( , )

(4)

通过比较系数以及Ylm( , )的归一化,可以求出各个系数Cm 。

2.2(L^y,L^2)共同的本征函数Ylm( %, %)按(L^z,L^)的共同本征函数族展开

将Ylm( %, %)按(L^z,L^)的共同本征函数族展开,即Ylm( %, %)=

m =-l

2

2

im %(m

2

2

=0, 1, 2#),Ylm( %, %);m ,l(l+1)

共同本征函数为Ylm( %, %). %, %

的含义见图3。

l

Cm Ylm ( , )

(5)

L^y的本征值方程为:

L^yYlm( %, %)=m Ylm( %, %)L^y=

l

(L^+-L^-)以及(3)式代入(5)式得:2i

Ylm( %, %)=

m =-l

l

m [2mi

l(l+1)-m (m +1)Yl,m +1( ,

)-综上所述,L^x,L^y,L^z三者本征函数形式一致,本征值相同,L^在不同坐标系中,本征函数形式一致,

本征值相同,只是各自自变量表示含义不同,可见角动量算符的本征值不因坐标系的选择而改变。2(L^x,L^2),(L^y,L^2),(L^z,L^2)各自共同的本征函数之间的相互转化

2.1(L^x,L^)共同的本征函数Ylm( , )按(L^z,L^)共同本征函数族展开

将Ylm( , )按(L^z,L^2)的共同本征函数族2

22

m =-l

l,m -1( , )]=Cm Ylm ( , )

(6)

同样通过比较系数以及Ylm( %, %)的归一化,可以求出各个系Cm 。

2.3(L^y,^L2),(L^z,L^2)共同的本征函数按(L^x,L^2)共同的本征函数族展开

由旋转坐标系上图(2)所示,则在xyz坐标系下可以求得(L^z,L^2),(L^y,L^2)各自共同的本征函数按(L^x,L^)共同的本征函数族展开的表达式,即

Ylm( , )=

2