02第二讲：随机过程概念及数字特征

时间：2025-04-26

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第二讲( ) 第二讲(1)

随机过程概念及其数字特征

1.随机过程概念随机过程概念 2.随机过程的分布函数和概率密度函数随机过程的分布函数和概率密度函数 3.随机过程的数字特征均值、方差、自随机过程的数字特征(均值方差、随机过程的数字特征均值、相关、自协方差、互相关、互协方差) 相关、自协方差、互相关、互协方差)

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第二章

随机过程分析

2.1随机过程概念随机过程概念随机信号: 随机信号某个或几个参数不能预知或不可能完全预知( 可能完全预知(带有某种随机性) 某种随机性)的信号随机噪声：随机噪声：凡是不能预知的噪声，预知的噪声，或简称为噪声。随机过程：随机过程：随机信号特征：特征：和噪声通过通信系统 (1)是时间的函数。的函数。 )是时间t的函数 (2)某时刻值出现是随机的 )某时刻值出现是随机的。的过程

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随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量 X (t1 ) 。随机过程的具体取值称作其实现 (样函数)是时间函数，所有实现(样函数)构成的集合称作随机过程的样函数空间，所有样函数及其统计特性即构成了随机过程

X (t1 )

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样本空间X 1 (t )X 2 (t )

X (t1 ) t1状态

t 2 状态

X (t 2 )

一次实现

X n (t )

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2.2随机过程的一般表述随机过程的一般表述一、随机过程的分布函数和概率密度函数随机过程的一维分布函数：的一维分布函数：表示概率的一维概率密度函数：的一维概率密度函数：随机过程维分布函数：的n维分布函数：维分布函数

的一维概率密度函数：的一维概率密度函数：

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例1: 随机过程X (t )在t ∈ [0, ∞)上X (t )在[ 5,+5]上均匀分布 1.一维、二维分布函数F1 ( x1 , t1 ),F 2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) 试求 : 2.一维、二维概率密度函数f1 ( x1 , t1 ),f 2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) 0 x1 < 5 5 + x1 解 : F1 ( x1 , t1 ) = P[ X (t1 ) ≤ x1 ] = 5 ≤ x1 ≤ 5 10 1 x1 > 5 0 x1 < 5 F1 ( x1 , t1 ) 1 f1 ( x1 , t1 ) = = 5 ≤ x1 ≤ 5 x1 10 0 x1 > 5

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F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) = P[ X (t1 ) ≤ x1 , X (t 2 ) ≤ x2 ] x1、x 2 < 5 0 (5 + x1 )(5 + x2 ) = 5 ≤ x1、x 2 ≤ 5 100 1 x1、x 2 > 5 2 F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) = x1 x2 F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) = + x2 x1 0 x1、x 2 < 5 10 + x1 + x2 = 5 ≤ x1、x 2 ≤ 5 100 0 x1、x 2 > 5

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X (t )

X (t1 )

X (t 2 )

t0 5F1 ( x1 , t1 )F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 )

x1 51 10

x1 51 5

f1 ( x1 , t1 )

f 2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 )

x1 5

x10

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分布函数的物理意义：分布函数的物理意义

:1。一维：随机变量在任一刻的状态小于或等于某一固定值的概率。。一维：随机变量在任一刻的状态小于或等于某一固定值的概率。 2。n维：随机变量在任意个时刻的状态都分别小于或等于个固定值的概率。。维随机变量在任意n个时刻的状态都分别小于或等于个固定值的概率。个时刻的状态都分别小于或等于n个固定值的概率

分布函数的性质：分布函数的性质：1. F ( x)是一个不减函数 F ( x2 ) F ( x1 ) = P[ x1 < X ≤ x2 ] ≥ 0, x2 > x1 2. 0 ≤ F ( x) ≤ 1, 且x → ∞

F ( ∞) = lim F ( x) = 0, 不可能事件 F (∞) = lim F ( x) = 1, 必然事件x →∞

F ( x)右连续，即F ( x + 0) = F ( x)

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概率密度函数的物理意义：概率密度函数的物理意义：分布函数的导数反应分布函数的变化情况(即单位区间上的概率)。反应分布函数的变化情况(即单位区间上的概率)。

性质： 1. f ( x) ≥ 0 2. 3. 4. 5.

∫ ∫

∞

f ( x)dx = 1x ∞

F ( x) = ∫ f ( x)dxx2 x1

f ( x)dx = F ( x2 ) F ( x1 )

若f ( x) 在x处连续则有F ' ( x) = f ( x)

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二、随机过程的数字特征随机过程随机过程的数学期望: 的数学期望的方差: 的方差是时间函数，是时间函数，表示随机过程所有样本函数的统计平均函数

X (t1 )

称为随机过程

的方差或均方差。的方差或均方差。的偏离程度。的偏离程度。

它表示随机过程在时刻对于均值

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例1: 随机过程X (t )在t ∈ [0, ∞)上X (t )在[ 5,+5]上均匀分布试求 : 1.均值E[ X (t )] 2.方差D[ X (t )] 0 x1 < 5 5 + x1 解 : F1 ( x1 , t1 ) = P[ X (t1 ) ≤ x1 ] = 5 ≤ x1 ≤ 5 10 1 x1 > 5 0 x1 < 5 F1 ( x1 , t1 ) 1 f1 ( x1 , t1 ) = = 5 ≤ x1 ≤ 5 x1 10 0 x1 > 5 ∞ 5 1 1 5 2 E[ X (t )] = ∫ xf1 ( x1 , t1 )dx = ∫ x dx = ∫ dx =0 5 10 ∞ 20 5 D[ X (t )] = E{ X (t ) E[ X (t )]}2 = E[ X (t )]2 1 1 5 3 25 = ∫ x f1 ( x1 , t1 )dx = ∫ x dx = ∫ dx = ∞ ∞ 10 30 5 32 2 ∞ ∞

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X (t )

X (t1 )

X (t 2 )

55 3 3 5 3 3

t0F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 )

5F1 ( x1 , t1 )

x1 51 10

5 3 3

x1 51 5

f1 ( x1 , t1 )

f 2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 )