02第二讲:随机过程概念及数字特征

时间:2025-04-04

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第二讲( ) 第二讲(1)

随机过程概念及其数字特征

1.随机过程概念 随机过程概念 2.随机过程的分布函数和概率密度函数 随机过程的分布函数和概率密度函数 3.随机过程的数字特征 均值、方差、自 随机过程的数字特征(均值 方差、 随机过程的数字特征 均值、 相关、自协方差、互相关、互协方差) 相关、自协方差、互相关、互协方差)

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第二章

随机过程分析

2.1随机过程概念 随机过程概念 随机信号: 随机信号 某个或几 个参数不能预知或不 可能完全预知( 可能完全预知(带有 某种随机性) 某种随机性)的信号 随机噪声: 随机噪声:凡是不能 预知的噪声, 预知的噪声,或简称 为噪声。 随机过程: 随机过程:随机信号 特征: 特征: 和噪声通过通信系统 (1)是时间 的函数。 的函数。 )是时间t的函数 (2)某时刻值出现是随机的 )某时刻值出现是随机的。 的过程

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随机过程是与时间有关的随机变量,在确定的 时刻它是随机变量 X (t1 ) 。随机过程的具体取值 称作其实现 (样函数)是时间函数,所有实 现(样函数)构成的集合称作随机过程的样函 数空间 ,所有样函数及其统计特性即构成 了随机过程

X (t1 )

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样本空间X 1 (t )X 2 (t )

X (t1 ) t1状态

t 2 状态

X (t 2 )

一次实现

X n (t )

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2.2随机过程的一般表述 随机过程的一般表述一、随机过程的分布函数和概率密度函数 随机过程 的一维分布函数: 的一维分布函数: 表示概率 的一维概率密度函数: 的一维概率密度函数: 随机过程 维分布函数: 的n维分布函数: 维分布函数

的一维概率密度函数: 的一维概率密度函数:

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例1: 随机过程X (t )在t ∈ [0, ∞)上X (t )在[ 5,+5]上均匀分布 1.一维、二维分布函数F1 ( x1 , t1 ),F 2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) 试求 : 2.一维、 二维概率密度函数f1 ( x1 , t1 ),f 2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) 0 x1 < 5 5 + x1 解 : F1 ( x1 , t1 ) = P[ X (t1 ) ≤ x1 ] = 5 ≤ x1 ≤ 5 10 1 x1 > 5 0 x1 < 5 F1 ( x1 , t1 ) 1 f1 ( x1 , t1 ) = = 5 ≤ x1 ≤ 5 x1 10 0 x1 > 5

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F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) = P[ X (t1 ) ≤ x1 , X (t 2 ) ≤ x2 ] x1、x 2 < 5 0 (5 + x1 )(5 + x2 ) = 5 ≤ x1、x 2 ≤ 5 100 1 x1、x 2 > 5 2 F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) = x1 x2 F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) = + x2 x1 0 x1、x 2 < 5 10 + x1 + x2 = 5 ≤ x1、x 2 ≤ 5 100 0 x1、x 2 > 5

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X (t )

X (t1 )

X (t 2 )

5

t0 5F1 ( x1 , t1 )F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 )

1

1

x1 51 10

x1 51 5

0

5

0

5

f1 ( x1 , t1 )

f 2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 )

x1 5

x10

0

5

5

5

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分布函数的物理意义: 分布函数的物理意义

:1。一维:随机变量在任一刻的状态小于或等于某一固定值的概率。 。一维:随机变量在任一刻的状态小于或等于某一固定值的概率。 2。n维:随机变量在任意 个时刻的状态都分别小于或等于 个固定值的概率。 。 维 随机变量在任意n个时刻的状态都分别小于或等于 个固定值的概率。 个时刻的状态都分别小于或等于n个固定值的概率

分布函数的性质: 分布函数的性质:1. F ( x)是一个不减函数 F ( x2 ) F ( x1 ) = P[ x1 < X ≤ x2 ] ≥ 0, x2 > x1 2. 0 ≤ F ( x) ≤ 1, 且x → ∞

F ( ∞) = lim F ( x) = 0, 不可能事件 F (∞) = lim F ( x) = 1, 必然事件x →∞

3.

F ( x)右连续, 即F ( x + 0) = F ( x)

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概率密度函数的物理意义: 概率密度函数的物理意义:分布函数的导数 反应分布函数的变化情况(即单位区间上的概率)。 反应分布函数的变化情况(即单位区间上的概率)。

性质: 1. f ( x) ≥ 0 2. 3. 4. 5.

∫ ∫

f ( x)dx = 1x ∞

F ( x) = ∫ f ( x)dxx2 x1

f ( x)dx = F ( x2 ) F ( x1 )

若f ( x) 在x处连续则有F ' ( x) = f ( x)

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二、 随机过程的数字特征随机过程 随机过程 的数学期望: 的数学期望 的方差: 的方差是时间函数, 是时间函数,表示随机过程所有样本函数的统计平均函数

X (t1 )

称为随机过程

的方差或均方差。 的方差或均方差。 的偏离程度。 的偏离程度。

它表示随机过程在 时刻对于均值

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例1: 随机过程X (t )在t ∈ [0, ∞)上X (t )在[ 5,+5]上均匀分布 试求 : 1.均值E[ X (t )] 2.方差D[ X (t )] 0 x1 < 5 5 + x1 解 : F1 ( x1 , t1 ) = P[ X (t1 ) ≤ x1 ] = 5 ≤ x1 ≤ 5 10 1 x1 > 5 0 x1 < 5 F1 ( x1 , t1 ) 1 f1 ( x1 , t1 ) = = 5 ≤ x1 ≤ 5 x1 10 0 x1 > 5 ∞ 5 1 1 5 2 E[ X (t )] = ∫ xf1 ( x1 , t1 )dx = ∫ x dx = ∫ dx =0 5 10 ∞ 20 5 D[ X (t )] = E{ X (t ) E[ X (t )]}2 = E[ X (t )]2 1 1 5 3 25 = ∫ x f1 ( x1 , t1 )dx = ∫ x dx = ∫ dx = ∞ ∞ 10 30 5 32 2 ∞ ∞

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X (t )

X (t1 )

X (t 2 )

55 3 3 5 3 3

t0F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 )

5F1 ( x1 , t1 )

1

1

x1 51 10

5 3 3

x1 51 5

0

5

0

5

f1 ( x1 , t1 )

f 2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 )

x1 5

x10

0

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