第八章

序列的抽取与插值

信号的“抽取”,也称“抽样率压缩”:减少抽样率的过程。信号的“插值”,也称“抽样率扩张”:增加抽样率的过程。一、序列的抽取当信号的抽样数据量太大时，在每D个抽样中取出一个或说每隔D-1抽样取出一个，以便减少数据量，D是整数，称为抽样因子，这样的抽取，称为整数倍抽取。如下图所示

xa (t )0

x ( n)T1 5xd ( n )1015

t

0

n

0

1

2

3

4

5

n

T2= 3T1

1.用连续信号抽样的概念来直观地讨论抽取过程中对频域所产生的影响设序列x ( n ), xd ( n )所对应的模拟信号为xa ( t ),a d a t nT t nDT==

即x ( n )= x ( t )

, x ( n )= x (t )

设它们各自满足以下的傅立叶变换关系：xa ( t ) X a ( j ) x ( n ) X ( e jω ) xd ( n ) X d ( e jω′ )

利用序列的傅立叶变换与连续信号傅立叶变换的关系式，知 1∞ 2π 1∞ X (e ) X e X a j = j k X a ( j jk s1 )==∑∑ T1 k= ∞ T1 T1 k= ∞jω

(

j T1

)

1 j T2 jω′ = X= e X d e T2

2π 1 X a j = j k ∑ T2 T2 k= ∞ 1∞ 2π X a j j k =∑ T2 k= ∞ DT1 k 1∞ X a j j s1 =∑ DT1 k= ∞ D

(

)

∞

k= ∞

∑X

∞

a

(

j jk s′

)

ω 2π k 1∞或表示为 X ( e )=∑ X a j T1 k= ∞ T1 jω

X d (e

jω′

1 )=T 2

ω′ 2π k Xa j∑ T k= ∞ 2 ∞

频谱图

ω 2π k 1∞ X (e )=∑ X a j T1 k= ∞ T1 jω

X d (e

jω′

1 )=T 2jω′

ω′ 2π k Xa j∑ T k= ∞ 2 ∞

可以看出：1.X d ( e

2π )可认为按 T整数倍移位, 2

并按频率=ω T2做尺度变换的无穷多个 2.是周期的，周期为 X d ( e jω′ )所组成 X a ( j ) 2π

3.只有在抽取之后的抽样率仍满足抽样定理时，才不会产生混叠失真，即要保证 X ( e jω )是带限的，即X ( e jω= 0,ωh1≤ω≤π ) π频谱图 ωh≤

x a ( jΩ ) Ωh 0Ωh

ΩΩ s1D2Ω s1 D

X (e jΩ T1 ) Ω s1

1 T1Ω s1=2π T1

Ωh 0Ωh

Ω

X (e jΩ T2 )

1 T2

Ωh 0Ωh

Ωs2=

2π DT1

DΩ s 2

Ω

X ( e jω ) 2π π

1 T1

ωh1=Ω hT1

ωh10ωh11 T2

π

2π

ωω′

X d (e jω′ ) 2π

π π Dωh1 0ωh 2= Dωh1

ωh 2=Ω hT2= Dωh12π

推导结论

2.序列域的直接抽取--频谱间的关系

先将序列x ( n )进行脉冲抽样，得到x p ( n ),然后去掉零值点，得到所需抽取序列xd ( n )其中= p (n)

则 xp ( n)= x ( n). p ( n)

k= ∞

∑δ (n kD)

∞

x ( n )当n= kD,k为整数即 xp ( n)= 其他n 0图示

周期冲激序列p ( n ):

其DFS的系数P ( k )=∑ p ( n )en=0 D 1 2π j D kn

=

∑∑δ ( n kD )en= 0 k= ∞ D 1 n=0 2π j D kn

D 1

∞

2π j D

kn

=∑δ ( n )e 2π傅立叶变换P ( e jω )= D2π= D

=1

2π P kδω k ( ) ∑ D k=0D 1

∑δ (ω kω )k=0 S

D 1

2π其中ω=是抽样频率 s D

xp ( n)= x ( n). p ( n) 1 2π j (ω θ ) jθ∴ X p (e )= P e X e dθ ( )∫ 2π 0 1 2π 2π D 1 j (ω θ )δ (θ kωs )X e= . dθ∑∫ 2π D 0 k=0 1 D 1 j (ω kωs )=∑X e 式 (1) D k=0jω

(

)

(

)

(

)

讨论X d ( e jω ):

xd ( n )= x p ( Dn ) jω′k x k e∴ X d ( e jω′ )=∑ d( ) k= ∞∞∞

=∑ x p ( Dk ) e jω′kk= ∞

=∞

n为D的整数倍

∑

xP ( n ) e jω′ n D

jω′

n D

=∑ xp ( n) en= ∞

′ jω D= X p e

ω′ j jω′ D=即X ) X p e 式 ( 2) d (e

D 1 1 j (ω kωs ) jω由 X p (e )=∑ X e 式 (1) D k=0ω′ j jω′ D X= ) X p e 式 ( 2) d (e ω′ D 1 j k ω s 1 jω′ D 得 X d (e )=∑ X e D k=0

(

)

因此，式 (1)表明：X p ( e jω )为X ( e jω )的周期延拓，以ωs为周期式 ( 2 )表明：X d ( e jω′ )与X p ( e jω )仅在频率尺度上不同式 ( 3)表明：X d ( e jω′ )可看做是由频率受到D倍扩展的， 2π并按整数倍移位的D个X ( e jω )所组成 D

ω′ 2π k j 1 D D =∑ X e 式 ( 3) D k=0 D 1

X ( e jω ) 2π π ωh 0ωh

π

2π

ωω

P ( e jω ) 2π 2ω s π ω s 0 X p1 (e jω )

2π D1

ωs1 D1

πωs=2π D1

2ω s

2π

2π

2ω s π ω s ωh 0ωh 1 X p 2 ( e jω )D

ωs′=ωs 2π D

π

2ω s

2π

ω

2π

π

X d (e jω′ ) π D1ωh

0

1 D1

′ωs

π

2π

ω

2π

0

D1ωhπ

2π

ω′

这一抽取关系可用下图表示

x ( n)

抽取器 D

xd ( n )

=

x ( n)

↓D

xd ( n )

抽取器及其框图表示

频谱图

二、加防混叠滤波器后抽取系统的时域频域分析一般来说，如果原序列的抽样频率 f s≥ 2 f h,则不会产生频率响应的混叠失真。

当再做D取1抽取时，只要原序列x ( n )的一个周期的频谱限制在ω≤混叠失真。即，只要原信号x ( n )的抽样频率f s≥ 2 Dfh,则做D取1抽取后，

πD

范围内，则抽取后序列xd ( n )的频谱不会产生

序列xd ( n )的频谱不会产生混叠失真。

频谱图

x a ( jΩ ) Ωh π

01 T

Ωh

X ( e jω )π0jω

Ω

2π π

ωh

ωh

2π

H d (e )π ωc 0ωc π2π

ω

2π

ω

X e (e jω ) ωc 0ωc

π2π

2π π

ω

X d (e jω′ )0

π2π

2π

Dωc

Dωc

ω′

框图

结论

这一抽取关系可用下图表示

x ( n) h( n) H ( e jω )

xe (n)

↓D

xd ( n )

抽取器及其框图表示

频谱图

二、序列的插值插值因子I, I为大于1的整数整数倍 (I倍 )插值的方法： 1.在已知抽样序列的相邻两样点之间等间隔地插入 (I-1)个零值点 2.进行数字低通滤波

x ( n)fs

↑I

x p ( n)If s

h( n)

x I ( n)If s

插值系统的框图图中“↑ I”表示在的相邻抽样点间补 (I-1)个零值点，也就是表示它是零值插值，称为零值插值器

xp ( n)

n ∞ x n= 0,± I,±2 I=∑ x ( k )δ ( n kI ) I k= ∞ 0 n为其他值

h ( n )表示一个离散时间低通滤波器

x ( n)

0

n

x p ( n)

0

xI ( n )

n

0

n

1.在频域中分析插值系统的工作原理：X p ( e jω ) ∞ jωn x k .δ n kI ) e∑ ∑ ( ) ( n= ∞ k= ∞ ∞

=∑ x ( k ) e jω Ik=X ( e jω I )k= ∞

∞

即零值插值器输出的傅立叶变换是对输入傅立叶变换做频率变换

X I ( e jω )可以从X p ( e jω )得到,这只要去掉X p ( e jω )中除了在2π整数倍上的

x ( n)

全部经频率尺度变换后的X a ( j )的图形.X ( e jω )

0

n

2π

π

0X p ( e jω )

π

2π

ω

x p ( n)

0

xI ( n )

n

2π

π

0

π

2π

ω

X I (e jω )

0

n

2π

π

0

π

2π

ω

2.在时域中分析插值系统的工作原理： I jω设低通滤波器的H ( e )= 0 πn sin I 其h ( n )=πn Ih ( n )有下列性质： h ( 0 )= 1 0 n=± I,±2 I, h ( n )=

Iω为其他

ω≤

π