·2·

李东亚，党平安，周厚勇，张冠宇：∨─∧模糊关系方程的传递解

定理2.2 设A≤B，则方程(1)有传递解当且仅当B 1αB是(1)的一个解．

把(2)式记为X =A 1αB，可得以下引理．

证明：A≤B B 1αB≤A 1αB=Xs

引理2.2 设A为一模糊关系，则关系A 1αB是

Xs=B 1αB．

传递且幂等的．

方程(1)的传递解一般不构成关系区间，但可以

引理2.3 若方程(1)有传递（幂等）解X，则

确定其传递解的边界．定理2.1给出其最大传递

X≤B 1αB．

解．假设Xi为方程(1)的极小解，利用引理2.1得到

引理2.4 若方程(1)有传递（幂等）解，则

传递关系(Xi)γ．那么

Xs=(B 1αB)∧X 也是传递（幂等）解．

(1) 若Xγ是(1)的一个解，则必为(1)的一个极

证明：设X是(1)的传递解，则X≤X ，由引

小传递解．

理2.3得

X ]内(2) 若Xγ不是(1)的解，则在区间[Xγ，s

X≤X≤X． (3)

没有传递解，于是有定理2.3．

于是，Xs是(1)的解．又

定理2.3 若方程(1)有传递解，则其极小传递解

A(Xs)2=(AXs)Xs=BXs≤B(B 1αB)=B，

X∈{(X1)γ，(X2)γ，L，(Xm)γ}．

可得

A(Xs)k+1≤B(Xs)k≤L≤BXs≤B，

参考文献：

以及

[1] 张文修，王国俊，刘旺金．模糊数学引论[M]．西安：

∨(AXs)k≤B．

1≤j≤m

2≤x≤n

小传递关系Aγ，且Aγ=∨Aj．

西安交通大学出版社，1991．144～150 南理工大学出版社，2001．147～156．

又由于 [2] 杨纶标，高英仪．模糊数学原理及应用[M]．广州：华

A(Xs)γ=A(Xs∨（∨A(Xu)k))

2≤k≤n2≤k≤n

（∨(AXu)k)=B，=B∨

sγ

[3] 党平安．∨─∧方程的求解方法[J]．天中学刊，2001，

(2)：9～11．

[4] Zadeh L A．Fuzzy Sets[J]．Information and Control，1965，

(8)：338～353．

[5] Fu Cheng Tang．Perturbation techniques for fuzzy matrix

equations[J]．fuzzy sets and systems，2000，109(3)：363～369．

[6] 陈贻源．解fuzzy关系方程[J]．模糊数学，1983，(2)：

109～124．

[7] Higashi M，Klir G J．Resolution of finite fuzzy relation

equations[J]．fuzzy sets and systems，1984，13(1)：65～82．

〔责任编辑 张继金〕

所以，传递闭包(X)也是(1)的解．又由(3)式得 Xs≤(Xs)γ≤Xs， 即Xs是传递的．

定理2.1 方程(1)有传递解当且仅当Xs=(B 1αB)∧X 是(1)的解．若方程(1)有传递解，则Xs是其最大传递解．

证明：若Xs是(1)的解，由引理2.4的证明可知，Xs也是传递的；反之，若方程(1)有传递解，则由引理2.4，Xs是(1)的解，再由(3)式，Xs是最大传递解．

Transitive Solutions of ∨ ∧ Fuzzy Equations

LI Dong-ya, DANG Ping-an, ZHOU Hou-yong, ZHANG Guan-yu

（Huanghuai University, Zhumadian Henan 463000, China）

Abstract: In this paper, the existence conditions of ∨ ∧ Fuzzy relation equations are given, and the ranges of the solutions are discussed.

Key words: fuzzy relation; fuzzy relation equations; ∨ ∧ fuzzy equation; transitive solutions